3
D1M
AD1
1
同理：△A1MD2∽△A2D2D3，
A1M A1D 2 .2 ∴ A 2 D 2 A 2 D3
设A2C2=x，则
解得x=3.
3 2. x2 x
9 27 81 同理可求 A 3C3 ，A 4 C4 ，A 5C5 ， ， 2 4 8 n 1 由此规律可得 A n Cn 3 . 2n 2 8 8 3 3 ∴ A9 C9 . 即正方形A9C9C10D10的边长是 . 7 7 2 8 2 3 【答案】 7 2
一、数列规律
这类问题通常是先给出一组数，通过观察、归纳这组
数的共性规律，写出一个一般性的结论.解决这类题目的关
键是找出题目中的规律，分清不变量和变化量，寻求变化
部分与序号间的关系.
【分析】观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数， 每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n-1行的数 据的个数，再加上n-2得到所求数的被开方数，然后写出算术 平方根即可.
102016
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三、图形规律 这类题目通常是给出一组图形的排列（或通过操作得到 一系列的图形），探求图形的变化规律，以图形为载体考查 图形所蕴含的数量关系.解决此类问题时应先观察图形的变化 趋势，是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用
从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化
（2014·安徽）观察下列关于自然数的等式： 32-4×12=5 52-4×22=9 72-4×32=13 ① ② ③
„
根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：92-4×( )2=( )；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其 正确性.
【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇
1 2 3 4 5 1.（2015·广东东莞）观察下列一组数： ， ， ， ， ， ， 3 5 7 9 11 10 根据这组数的排列规律，可推出第10个数是_______. 21
2.（2015·甘肃武威）古希腊数学家把数1，3，6，10，15， 21，„，叫作三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三 角形数，6是第3个三角形，„，依此类推，那么第9个三角
2 2a 2 x a 2 a 2，
1 x （a 2 1） . 2 x为整数点， a 2 3， M （ ， 3） . 2 3
M3（a3，a3）是抛物线
2 x 2 x 2 2a 3 x a 3 a 3， 2 2a 3 x a 3 a 3，
2 2 y3 （x a 3） a 3 x 2 2a 3 x a 3 a 3顶点，
9.（2014·泰安）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A
顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点
B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置， 点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置， 点A2在x轴上，以此进行下去„.若点A（ 5 ，0），B（0，4）， 则点B2 10 080 016的横坐标为________.
2 得x2=（x-a1）2+a1，即 2a1x a1 a1，
1 x （a1 1） . 2
∵x为整数点，∴a1=1， ∴M1 （1，1）.
M2（a2，a2）是抛物线y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2顶点， 抛物线y=x2与y2相交于A2，
x 2 x 2 2a 2 x a 2 2 a 2，
【分析】设AD10与A1C1的交点为M，构造相似三角形 △AD1M∽△D2A1M，从而求得 A1M 2 ，然后利用△A1MD2 ∽△A2D2D3，从而求得A2C2的长，„，以此类推，求得
3
A9C9的长.
【解答】设AD10与A1C1的交点为M. ∵四边形都是正方形， ∴AD1∥A1D2， ∴△AD1M∽△D2A1M， ∴ A1M D2 A1 2 . 又∵A1D1=A1C1-AB=2-1=1， ∴ A1M 2 .
规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出
特殊情况下的数值.
（2015·贵州安顺）如图所示是一组有规律的图案，
第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形 组成，„，第n（n是正整数）个图案中的基础图形个数为 ______（用含n的式子表示）.
【解答】观察图形可知， 第1个图案共有基础图形3×1+1=4个； 第2个图案共有基础图形3×2+1=7个； 第3个图案共有基础图形3×3+1=10个； „ 则第n个图案共有基础图形3×n+1=3n+1个. 【答案】3n+1
【解答】前（n-1）行的数据的个数为2+4+6+„+2（n-1）= n（n-1）， 所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数的被 开方数是n（n-1）+n-2=n2-2， 所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n-2个数是
n 2 2.
【答案】 n 2 2
【点评】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确 定出前（n-1）行的数据的个数是解题的关键.
3
形数是___________ ，2 016是第____ 45 63 个三角形数.
3.（2015·江苏淮安）将连续正整数按如下规律排列：
若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=_______. 147
二、数式规律
这类问题一般是先给出一组数式，通过观察、分析，归
纳出这组数式的共性，写出一个具有一般性的表达式.解答这 类问题，要认真分析所给数式的共同点，根据共同点归纳出 具有这些共同点的一般式，再代入已知数式验证其正确性.
如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐 标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3„An，„.将抛 物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足 下列条件： ①抛物线的顶点M1，M2，M3，„Mn，„都在直线L：y=x上； ②抛物线依次经过点A1，A2，A3„An，„.
数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算
的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可.
【解答】（1）32-4×12=5
①
52-4×22=9
72-4×32=13 „ 所以第四个等式：92-4×42=17.
②
③
（2）第n个等式为：（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1， 左边=（2n+1）2-4n2=4n2+4n+1-4n2=4n+1， 右边=2（2n+1）-1=4n+2-1=4n+1. 左边=右边. ∴（2n+1）2-4n2=2（2n+1）-1. 【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算 规律，利用规律解决问题.
抛物线y=x2与y3相交于A3，
1 x （a 3 1） . 2
∵x为整数点，∴a3=5， ∴M3（5，5）， ∴由此规律可得an=n×2-1=2n-1. ∴a2 【答案】（4 031,4 031）
016=2
016×2-1=4 031.
8.（2014·湖北孝感）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2， „按如图的方式放置，点A1，A2，A3，„和点C1，C2，C3，„ 分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是 （__________. 63，32）
则顶点M2
016的坐标为（________，________）.
【分析】根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x-an）2+an相交于 An，可发现规律，根据规律，可得答案.
【解答】M1（a1，a1）是抛物线y1=（x-a1）2+a1的顶点，
抛物线y=x2与抛物线y1=（x-a1）2+a1相交于A1，
【点评】此题考查了图形的规律性.解决这类问题首先要从 简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后 一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情
况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结
论.
（2015·浙江湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延 长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到 A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类 推„，若A1C1=2，且点A，D2，D3，„，D10都在同一直线上 ，则正方形A9C9C10D10的边长是________.
专题一 探索规律问题
这类问题是根据给出的具有某种规律的数、式、图形， 或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情 境，通过观察、分析，探究所蕴含的本质规律和共同特征， 或者发展变化的趋势，据此探索出一般性的结论.考查学生 的归纳、概括、类比能力. 解决这类问题的一般方法是：“从特殊情形入手——探 索发现规律——猜想结论——验证.”
6.（2014·湖北武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中
第1个图中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形
共有19个点，„，按此规律第5个图形中共有点的个数( )
A.31
B.46
C.51
D.66
2n+1
四、点的坐标变化规律 这类问题一般与直角坐标系相联系，结合函数、图形的 变化，进而引起点的坐标变化.解答这类问题，一般要从题目 中或图形运动中寻找变化规律，用变化规律表示点的变化， 进而推导要求的点的坐标.