三角恒等式
1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式.(重点)
2.能利用所学公式进行三角恒等变换.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1降幂公式
阅读教材P121例3，完成下列问题.
sin2α＝1－cos 2α
2，
cos2α＝1＋cos 2α
2，
tan2α＝1－cos 2α1＋cos 2α
.
1.若cos α＝－3
5，且π＜α＜
3π
2，则cos
α
2＝________.
【解析】∵π＜α＜3π
2，∴
π
2＜
α
2＜
3π
4，
∴cos α
2＝－
1＋cos α
2＝－
5
5.
【答案】－
5 5
2.若tan α
2＝3，则cos α＝________.
【解析】∵tan2α
2＝
1－cos α
1＋cos α
＝9，
∴cos α＝－4 5.
【答案】－4 5
教材整理2积化和差与和差化积公式
阅读教材P126链接以上内容，完成下列问题.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cos B.()
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin A cos B.()
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－cos2β.() 【解析】(1)正确.
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin A sin B，故错.
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝1
2(cos 2α＋cos 2β)，故错.
【答案】(1)√(2)×(3)×
教材整理3万能公式
阅读教材P126～P127的“链接”内容，完成下列问题.
设tan α
2＝t，则sin α＝
2t
1＋t
，cos α＝
1－t2
1＋t
，tan α＝
2t
1－t
.
1.若tan α＝3，则sin 2α＝________，cos 2α＝________.
【解析】∵tan α＝3，∴sin 2α＝
2tan α
1＋tan2α
＝
3
5，cos 2α＝
1－tan2α
1＋tan2α
＝－
4
5.
【答案】3
5－
4
5
2.若tan α＝1，则tan α
2＝________.
【解析】 tan α＝
2tan α
2
1－tan 2 α2，∴tan 2 α2＋2tan
α2－1＝0， 解得tan α
2＝－1±2. 【答案】 －1±
2
[小组合作型]
【精彩点拨】 先降幂；再和差化积，或积化和差求解. 1－cos 40°2＋1＋cos 100°2
＋1
2(sin 70°－sin 【自主解答】 原式＝30°)
＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－14 ＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋12sin 70° ＝
34－12sin 70°＋1
2sin 70°＝34.
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
[再练一题]
1.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－1
3，求sin(α＋β)的值.
【解】 ∵cos α－cos β＝1
2， ∴－2sin α＋β2sin α－β2＝1
2.① 又∵sin α－sin β＝－1
3， ∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②
∵sin α－β2≠0，∴由①②，得－tan α＋β2＝－32， 即tan α＋β2＝32.
∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β
2
＝2×32
1＋94＝12
13.
设tan 2＝t ，求证：
1＋sin θ＋cos θ
＝1
2(t ＋1).
【精彩点拨】 利用万能公式，分别用t 表示sin θ，cos θ，代入待证等式的左端即可证明.
【自主解答】 由sin θ＝2tan θ2
1＋tan 2θ2及cos θ＝1－tan 2θ
2
1＋tan 2θ2，得1＋sin θ＝
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋tan θ221＋tan 2θ
2＝(1＋t )2
1＋t 2
， 1＋sin θ＋cos θ＝2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋tan θ21＋tan 2θ2＝2(1＋t )1＋t 2，
故
1＋sin θ1＋sin θ＋cos θ
＝1
2(t ＋1).
在万能代换公式中不论α的哪种三角函数(包括sin α与cos α)都可以表示成
tan α
2＝t 的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t 的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值
.
[再练一题]
2.已知cos θ＝－35，且180°＜θ＜270°，求tan θ
2.
【解】 ∵180°＜θ＜270°，∴90°＜θ2＜135°，∴tan θ2＜0.
由cos θ＝1－tan 2
θ21＋tan 2θ2，得1－tan 2
θ
21＋tan 2θ2
＝－
3
5， 解得tan 2θ
2＝4.
又tan θ2＜0，∴tan θ
2＝－2.
[探究共研型]
【提示】 把f (x )化成A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式. 探究2 在上述转化过程中，要用到哪些公式？ 【提示】 降幂公式：sin 2α＝
1－cos 2α2，cos 2
α＝
1＋cos 2α2
. 辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋θ)，其中tan θ＝b
a .
求函数f
(x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，7π24的最小值，
并求其单调减区间.
【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x
2－2sin 2x ＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －1
2sin 2x
＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin π3cos 2x －cos π3sin 2x
＝33＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－2x
＝33－4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3，
∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π
4. ∴sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22.
∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.
∵y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π4，7π24上单调递减.
1.研究函数性质的一般步骤： (1)对函数式化简；
(2)借用函数图象，运用数形结合法研究函数的性质. 2.对三角函数式化简的常用方法： (1)降幂化倍角； (2)升幂角减半；
(3)利用f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2
＋b 2
sin(x ＋φ)⎝ ⎛
⎭
⎪⎫其中tan φ＝b a ，化为“一个
角”的函数.
[再练一题]。