楚雄师范学院
2016-2017 学年第一学期期末考查卷A卷课程金融计量分析考查时间：2016_年12月28_日班级2014 级统计4班姓名大大学号20140623102
1问题重述
1.1问题背景
1938年，弗雷德里克•麦考利首先提出了久期( Duration，简记为D)的概念，久期是指现金流支付时间的加权平均，权重是每期支付的现金流的现值在所有现金流的现值总和中所占的比例，即以每期支付的现金流的现值除以所有现金流的现值总和。
在下载的债券分析中，它用来衡量债券价格变动对利率变化的敏感度。
一项现金流的现值要受到多种因素的影响，如现金流的时间长短、每期现金流再投资所获得的收益率的高低、
现金流的分布情况等。
因此，现金流的风险不能单纯以时间长短来衡量。
为了合理地衡量现金流的风险，也就是现金流对利率变化的敏感程度。
1.2提出问题
(1)设某证券面值为1000元，到期收益率为10%期限为20年，试计算在息票率为5% 10% 15%青况下债券的久期。
(2)设某债券面值为1000元，到期收益率为10%期限为20年，试计算在不同票面利率情况下债券的久期，并画图显示计算结果，从而得到债券的久期与息票率的关系。
2问题分析
设有一种期限为n的债券，每期流入的现金流为CF t t =1,2,...,n，通常
CF t t =1,2,...,n-1是指第1期至第n-1期各期利息的流入，CF t为最后一期利息和本
金的总和。
若期限结构曲线水平，即每期现金流的贴现率都为r,则该现金流的现值为：
PV< C S
tm (1 + r)
而久期的公式为：
D = 1J tCF t
PV td 1 r t (1)期限相同的不同现金流，现金流的支付方式不尽相同，久期也不同。
久期综合考虑了现金流到期之前的全部现金流特征，它比到期期限更适合测算现金流的时间特性。
久期作为度量现金流对市场利率的敏感程度的指标，被广泛的应用于现金流的风险度量。
通常认为久期越长，现金流对利率变动所产生的变动幅度越大，从而风险也越大。
1.久期视为现金流支付时间的加权平均
将久期的计算公式（1）变形可得到
严 _ CFt/（1+J
其中，权重、=—n
「恰为各期现金流的现值与各期现金流的现值总和的
送CF t 心+r J
t 4
比值（所有现金流的权重之和等于 1），因此久期可以看成是现金流支付时间的加权平
均。
有定义修正的久期D*为:
此处r 为每年计息一次的贴现年利率，若债券的年付息次数不止一次，则有
年贴现率 年付息次数
2.久期视为债券价格相对贴现率的弹性
将债券的久期理解为债券价格对贴现率（市场利率和市场收益率）的弹性，可以很 容易地利用久期来度量债券价格的波动性和度量债券风险。
n
CF
将债券的价格公式 P
t
t 两边对贴现率r 求导数可得：
y （1 + r ） dP _ J t CF t
_
1 J t CF t
_ D P
dr t 丑（1 +r j 1 +r tm （1 +r ）
1 + r
由以上公式可以推出如下的两个结论 ： （1）久期可看作为债券价格对其贴现率的弹性。
dP/ P 债券价格的变化率 二 D = ----------------------------
dr / 1 r
贴现率的变化率
dP / P
d r /1 r 表示债券价格的变化率对贴现率的变化率的比值，称为“债券价
— J tCF PV 1 r
£茁
1
」・t t t4 PV
t4
式中,
格对贴现率的弹性”，它描述了债券价格的变化对利率变化的敏感程度。
由于贴现率与
价格呈负相关的关系，因此债券价格对贴现率的弹性为负值，显然，其绝对值等于久期。
（2）久期近似地度量债券价格的波动性（风险）。
dr
1 r
•讦较小时，dP . ：P 。
因此，当.：r 较小时，有
—
—或也P 拓一DxP 汉也r/(1+r ) p
1 r 或
利用上面的公式就可以通过久期来度量债券价格的波动性，即市场利率变化会对债 券价格造成多大的变化。
又由修正久期的定义，有
:_D r 或 P ： _D P r
3基本程序及符号说明
3.1基本程序
1.等时间间隔债券久期计算
在Matlab 中，在没有给定交收日和到期日的情况下， 计算等时间间隔的周期性的现
金流的久期和修正的久期的函数为
cfdur 。
函数的命令为：
[Duratio n,ModDurati on ]=cfdur （CashFlow,Yield ）
3.2符号说明
Durati on —久期，又称麦考利久期；
ModDurati on —每年计息一次的修正的久期；
CashFlow —现金流量，一定时期的现金和现金等价物的流入和流出的数量；
Yield —到期收益率，是当债券的所有将来发生的现金流的现值之和与债券目前的市 场价格相等时
的折现率。
班级 2014 级统计4班
姓名
大大
学号 20140623102
公式
dP/P d r / 1一J 可重新表述为:
dP P 由微分学知识可知，当
4结果分析
久期刻画了债券价格对市场利率的敏感性，它有效地度量了债券的风险。
影响久期的主要因素不只是息票率，还有到期期限和市场利率（贴现利率或到期收益率），这三个因素对于债券的组合管理都很重要。
我们以等时间间隔债券的久期计算为例，在Matlab中程序运行函数（1）的输出的
结果，有息票率为5% 10唏口15%分别对应的久期（Duration ）,分别为10.7412、9.3649 和
8.8105，修正久期（ModDuration）分别为9.7647、8.5136和8.0095。
我们可以看出，在到期时间和到期收益率保持不变的情况下，债券的久期随着债券票面利率的上升而递减；付息债券的久期总是小于它的到期期限。
在Matlab中程序运行函数（2）的输出的数据，建立表格如下表 4.1所示
图4.1债券久期与息票率的关系图
―在输出的图4.1中，实线表示债券的久期与息票利率的趋势走向，虚线表示的是债券的修正久期与息票利率的趋势走向。
从计算结果及图形都可以看出，并得到以下结论：
（1）在到期时间和到期收益率保持不变的情况下，债券的久期随着债券票面利率的上升而递减，但递减的速度越来越慢。
（2）零息债券的久期就等于它的到期期限，付息债券的久期总是小于它的到期期限。
参考文献
[1] 邓留保，李柏年，杨桂元・Matlab与金融模型分析[M] •合肥：合肥工业大学出版社・2007
[2] 王向东，戎海武，文翰•数学实验[M] •北京：高等教育出版社•2004
班级2014 级统计4班姓名大大学号20140623102 ModDurati on =
Colu mns 1 through 10
18.1818 14.0462 12.1186 11.0033 10.2762 9.7647 9.3853
9.0926 8.8600 8.6706
Colu mns 11 through 16
8.5136 8.3811 8.2680 8.1701 8.0847 8.0095
（3）作图命令如下：
>> plot（Coupo nRate,Durati on ,'Li neWidth',2）
hold on
plot（Coupo nRate,ModDuratio n, '-.','Li neWidth',2）
title（' 债券久期与息票率的关系'）
xlabel（' 息票利率'）
ylabel（'久期'）
grid on。