§4. 解析函数与调和函数
一、教学目标或要求：
掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算
二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
基本内容：解析函数与调和函数的关系例题
重点：解析函数与调和函数的关系
难点: 例题
三、教学手段与方法：
讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习：
16、17、18
§4. 解析函数与调和函数
在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。
因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。
现在我们来研究应该如何选择
才能使函数在区域D内解析。
设在区域D上解析，则C--R条件成立
，.
下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数
,
两式相加可得
同理可得
定义3.5若二元实函数
在区域
内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方
程，则称为区域内的调和函数。
记，
则为运算符号，称为拉普拉斯算子。
定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件
y v x u ∂∂=∂∂， x
v
y u ∂∂-=∂∂
的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义
设是区域D 上的解析函数，则
，
两式相乘得
即
所以
就是说，梯度跟梯度
正交. 我们知道，和
分别是曲线族“”和“
”的法向矢量，因而上式
表示“
”与“
”两族曲线相互正交. 这就解析函数
实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。
定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数.
证 由
在
内解析知，
，从而。
又解析
函数具有的无穷可微性保证
，
在
内均连续，故必相等，于是在
内。
同理
，即，满足拉普拉斯方程。
定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理
),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是)
,(y x u 的共轭调和函数。
函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。
从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。
1.线积方法
定理3.19 设
是在单连通区域
内的调和函数，则存在
，
使
是
内的解析函数。
（其中
是
内定点,
是
内动
点,为任意常数，积分与路径无关） 证 要使成为解析函数,则
必须满足条件
(
条件),
又
,故
，又
在单连通区域
可微，故
积分与路径无关，从而
2.条件
由，两边对求积分
,两边同时求的偏导
，由条件
两边对求积分求得的表达式,从而
3.观察法
例验证是平面上的调和函数,并求出以为实部的解析函数,使。
解(1) 故
(2)
方法一
故
又故，从而。
方法二
由于，故
于是,从而，
于是，即。
故，以下同方法一（略）。
方法三
由于
故。
余下（略）。
例验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数。
解（1）
故即在右半平面内是调和函数。
（2）由得
又,故, 于是，故
从而
在右半平面单值解析。
例 设222),(y xy x y x u --=，试求以),(y x u 为实部的解析函数
),(i ),()(y x v y x u z f +=，使得i )0(=f ．
解 依C.— R.条件有 y x u v x y 22-== 于是 ⎰-=y y x v d )22( )(22x y xy ϕ+-= 由此得 )(2x y v x ϕ'+=y u -=y x 22+= 从而有 c x x +=2)(ϕ
因此 c x y xy y x v ++-=222),( （c 为任意常数） 故得 )2(i 2)(2222c x y xy y xy x z f ++-+--= c z i )i 1(2++=
将i )0(=f 代入上式，得 i c f ==i )0( 由此得1=c ，故得 i )i 1()(2++=z z f 经验证，所得)(z f 既为所求。
本章内容课后讨论
1． 何谓复变函数的围道积分？它与二元实线积分有何关系？
2． 设l 是z 平面上以A 为起点B 为终点的光滑曲线，试问
与
的
几何意义有何不同?不等式
说明了什么几何性质?
3． 计算复变函数的积分有哪几种方法? 4． 复变函数的基本性质是什么?
5． 若
,能否说f(z)在l 内必解析?试举例说明.
6．对于什么样的闭曲线l,有
7．到此,我们能计算哪些复变函数的围道积分?总结一下计算这些复变函数围道积分的公式?
8．何谓原函数?如何计算解析函数的积分?
9．以下二论断是否均正确?试举例说明.
(z)存在,则f(n)(z)亦存在.
(1)对于复变函数f(z)而言，若
(2)对于实变函数f (x)而言，若
10．解析函数的导数是否仍为解析函数？
11．以下论断是否正确？为什么？
若在曲线l上连续，则积分定义一一个不在l上的解析函
数，且
12.若f（z）在区域内解析，在闭区域上连续，试证明在内有
成立，其中M为的上界，s为l的全长，d
Cauchy不等式
和z离边界上最近的一点的距离。
13．Liouville定理实际指出：“在整个复平面可微且有界的复变函数必是常数”。
由此我们是否可推断：“在整个数轴（）上可微且有界的实函数一定是常数”？试举例说明。
14．如何从Cauchy积分公式来理解解析函数其值之间的内在联系？。