40 三角函数和双曲函数在其定义域内解析，反三角 函数和反双曲函数要具体讨论。
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§2.5 调和函数
调和函数：设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有 连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方 程： xx ( x, y ) hyy ( x, y ) 0 ，则称h(x,y)其为D内的 h 调和函数。
从而f(z) c1 ic2 c.
其中c1 , c2为实常数，c为复常数）证毕
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3、初等函数的解析性
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时) 均是D内的解析函数。 定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
故 u (2 - 2y)dx 2 x(1 y) g ( y)
u - 2xdy 2 xy h( x)
2 x(1 y) g ( y) 2 xy h( x)
即 2 x g ( y) h( x)
g ( y) c
故 f(z) u iv 2x - 2xy c i( x 2 - y 2 2y) iz 2 2 z c(c为实数）
u u( x , y )，v v ( x , y )是D内的调和函数。
共轭调和函数
设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数，而且它 们满足柯西—黎曼方程，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和 函数。 u v u v C R方程 x y y x 上面定理说明：
2 2
2 y 0
(x,y ) ( x,0)
6 xydy c
3 2
3x dx 6 xydy c x - 3xy c
0
故 f(z) u iv y3 - 3x 2 y i( x 3 - 3xy 2 c)
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例 2.24 已知f(z)的虚部为 求解析函数f(z)=u+iv，且f(0)=0.
u x 6xy, u y 3 y 2 - 3x 2
故 v

(x,y ) ( 0, 0 )
(x,y ) ( 0, 0 ) (x,0)
- u y dx u x dy c
(3x 2 - 3y 2 )dx 6 xydy c

( 0, 0 )
x
(3x - 3y )dx
重点！
§2.4 解析函数
1、定义：
如果函数f(z)不仅在 z 0处可导，而且在 z 0的某 个邻域内任意点可导，则称f(z)在 z 0 处解析.
如果函数在区域D内任意点解析，则称f(z)在区 域D内解析。 若f(z)在 z 0不解析，则称该点为f(z)的奇点。
1

(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
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方法二
定理4-6 设u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0) 为D内任意取定的点，则存在由
v( x, y ) ((xx ,,yy) ) u y dx u x dy c
0 0
确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。

公式不用强记！可如下推出：
记u x v y
f(z) 在整个复平面上处处不解析。
3) f(z) zRe(z) (x iy)x x ixy
2
记 u x v xy u v u v 则 2x, x , 0, y x y y x
2
仅在原点满足柯西 黎曼方程 f(z) 在整个复平面上处处不解析。
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10 指数函数ez在整个复平面上解析。 20 对数函数Lnz的主值及各分支函数在除去原点和负 实轴外处处解析。
30 幂函数 z :
1)为正整数和零时， 在整个复平面解析。 z 2）为负整数时，在除原点外整个复平面解析。 z
3）为既约分数、无理数、复数时，在除去原点和 z 负实轴外的复平面解析。
例 设u ( x, y ) x y , v( x, y ) 2 xy
2 2
u , v是调和函数吗？v为u的共轭调和函数吗？ u为v的共轭调和函数吗？
注：一般地，若v为u在D内的共轭调和函数， 则-u为v在D内的共轭调和函数， u是-v的共轭调 和函数
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现在研究反过来的问题： u, v是任意选取的在 若
解： 1) f ( z ) x 2 y 2 i 2 xy, 则u x 2 y 2 , v 2 xy
u x 2 x v y , u y 2 y vx且显然可微
f(z) z 2在整个复平面上处处可导，
f(z) z 2在整个复平面上处处解析
2) f ( z ) x 2 y 2 i0, 则u x 2 x, v y 0, u y 2 y, vx 0
1 2 1 2 v(x,y)= 2 x 2 y
解： v x x, v y y
故 u
(x,y ) ( 0, 0 ) (x,0)
( 0, 0 )
v y dx vx dy c
ydx
0
(x,y ) ( x , 0)
(x,y ) ( 0, 0 )
ydx xdy c
y
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四、本章总结
本章重点学习了复变函数的连续、可导、解析函数、 调和函数的概念，给出了各自的充要条件。 要求：会判断函数的连续性、可导性、解析函数和调 和函数。
它们之间的关系：
未必 未必 必然 连续函数 可导函数 解析 调和函数 必然 必然 未必
f(z) z 在整个复平面上除z 个复平面上处处不解析
3
2
问题
如何判断函数的解析性呢？
2、函数解析的充要条件
定理2.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D 内解析的充要条件是：u,v在D内可微，且满足柯 西—黎曼方程。

记忆
D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 . 即, f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )在D内解析 在D内v ( x , y )必为u u( x , y )的共轭调和函数 .
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设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)在D内解析
在D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数 f(z)=v(x,y)-iu(x,y)在区域D内亦解析 f(z)=-v(x,y)+iu(x,y)在区域D内亦解析
类似地， 然后两端积分得，
u( x , y )
( x, y)
( x 0 , y0 )
v y dx v x dy c
( )
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例 2.23 已知调和函数u(x,y)= y 3 3 x 2 y 求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。
解： u y 3 - 3x 2 y
(在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是 一个整体概念)
注： 1） f(z)在某点解析，也就是指f(z)在包含该点 的某邻域内解析。 2）f(z)在闭区域 D 上解析，也就是指f(z)在包 含 D 的某邻域内解析。
2
例 讨论函数的解析性 z 2 的解析性 1）f(x)= 2 2）f(x)= z 的解析性
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例2.20 证明若函数f(z)在某区域内任意点均解析且导 数为零，则该函数在此区域上为常数。
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f / ( z ) u x ivx v y iu y 0 u x u y 0, vx v y 0
知 : u( x, y) c1 , v( x, y) c2
f(z) 在整个复平面上处处解析。
2） f(z) z x - iy
u v 则 1 1 x y
记 u x v y
f(z) 在整个复平面上处处不解析。
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而 f(z) z x iy
u v u v 则 1 , 0 且显然处处连续 x y y x
已知：u( x , y ), 求其共轭调和函数( x , y ) : v v v C R方程 由dv dx dy u y dx u x dy x y 然后两端积分。
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v v C R方程 v v 由du dx dy dx dy x y y x
g(x) c
v x -shxcosy g(x) u y -shxcosy
故 f(z) u iv shxsiny - i(chxcosy c)
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2） v x 2 - y 2 2y
v x 2x -u y , v y 2 - 2y u x
例2.19 讨论下列函数的解析性 1）f(z)=2x(1-y)+i(x2-y2+2y) 2) f(z)= z 3) f(z)=zRe(z)=(x+iy)x
u x v x
u y v y
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解：1) 记 u 2x(1 - y) v x 2 - y 2 2y
u v u v 则 2(1 - y) , 2x x y y x u u v v 又 、 、 、 在整个复平面上连续 x y x y
五、作业：
2.4.7 a . d 2.5.5 2.4.9 b 2.5.9 d 2.4.13. c f 2.5.10 d i
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