绝密★启用前
2020届六校联盟高三第三次联考
理科数学
本试卷共5页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 满足
z +
(i 为虚数单位的复数z =( )
A .
1122i + B . 1122i - C . 1122i -+ D . 1122
i -- 2. 已知集合{
}(){
}
22
|1,|lg 2y y x B x y x x A ==-==-，则
A . 1[0,)2
B . (,0)-∞∪1
[,+)2∞
C . 1(0,)2
D . (,0] -∞∪1
[,+)2
∞
3. 设a R ∈，0b >，则3a b >是3log a b >的( )
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为1
10
.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )
A .
311 B . 37
C .
711
D .
1
10
5. 设等差数列的前n 项和为()n S n N *
∈，当首项和公差d 变化时，若是定值，则下列各项中为定值的是( )
A . 15S
B . 16S
C . 17S
D . 18S
6. 设的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 若，，3
A π
=
，则B =( )
A .
6
π
B .
23
π C .
6
π
或
56
π D .
4
π
7. 已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为，过2F 的直线l 交
C 于A 、B 两点，若的周长为，则C 的方程为( )
A . 22132x y +=
B . 2
213x y +=
C . 221128x y +=
D . 22
1124
x y +=
8. 已知向量()cos ,sin a θθ=r ，()
1,2b =r ，若a r 与b r 的夹角为6
π
，则||a b -r r =( )
A . 2
B . 3
C . 2
D . 1
9. 函数sin ()=
2x
x
f x e
的图象的大致形状是( ) A . B .
C .
D .
10. 已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的左，右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，且2AF x
⊥轴，若的内切圆半径为，则其离心率为( )
A 3
B . 2
C . 31
D . 2311. 设函数()()sin f x x ωϕ=+，若7(
)(
)()6
63
f f f π
ππ
==-，则ω的最小正值是( ) A . 1 B .
6
5
C . 2
D . 6 12. 在我国古代数学名著九章算术中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC =，1AA AB >，堑堵的顶点1C 到直线1A C 的距离为m ，1
C
到平面1A BC 的距离为n ，则
m
n
的取值范围是 A . 23(1,
) B . 223(,)2 C . 23(,3) D . 23
(,2)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数1
()sin 2sin 33
f x a x x =-（a 为常数）在3
x π
=处取得极值，则a 值为______.
14. 若2020
220200122020(1)(1)(1)x
a a x a x a x =+-+-+⋅⋅⋅+-，则
202012
22020
333
a a a ++⋅⋅⋅+=______． 15. 若函数()=(0)ax
b f x
c cx
d +≠+，其图象的对称中心为(,)d a c c -，现已知22()=21
x
f x x --，数列{}
n a 的通项公式为(
)()2020
n n
a f n N *=∈，则此数列前2020项的和为______． 16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A 为球心，23
为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17. （本小题满分12分）
已知函数 ． (1)若 ，求函数()f x 的值域；
(2)设的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角且3
()=f A ，，3c =，求的值．
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，
90DAB ∠=o ,AD ∥BC ，侧面PAB ，是等边三角形，，，E 是线段AB
的中点．
()2sin()cos 3
f x x x π
=
+02
x π≤≤
1)求证：；
2)求PC 与平面PDE 所成角的正弦值．
19. （本小题满分12分）
已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：2
2(0)y px p =>交于A ，B 两点，且
3OA OB u u u r u u u r
⋅=-．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，
Q 两点，记OAB ∆，OPQ ∆的面积分别为1S ，
2S ，证明：
22
1211S S +为定值.
20. （本小题满分12分）
十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入单位：千元同一组数据用该组数据区间的中点值表示；
由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得：，利用该正态分布，求：
()i 在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
()ii 为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式，若2
(,)X N μσ~，则；
21. （本小题满分12分）
已知函数1)1()(-+=t
x x f 的定义域为()+∞,1-，其中实数t 满足10≠≠t t 且.直线
:l )(x g y =是)(x f 的图像在0=x 处的切线.
(1)求l 的方程)(x g y =；
(2)若)()(x g x f ≥恒成立，试确定t 的取值范围； (3)若()1,0,21∈a a ，求证：12212121a
a
a
a
a a a a +≥+.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t α
α=⎧⎨=+⎩
，以原点O 为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．
若曲线1C 方程中的参数是，且1C 与2C 有且只有一个公共点，求1C 的普通方程；
已知点()0,1A ，若曲线1C 方程中的参数是t ，，且1C 与2C 相交于P ，Q 两个不同点，求
11
||||
AP AQ +的最大值．
23. [选修4 ― 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()|1|||()f x x x a a N *=--+∈，恒成立． (1)求a 的值； (2)若正数x ，y 满足12a x y +=，证明：11
22
x y xy ++≥。