百校联盟2019届TOP20九月联考(全国I 卷)理科数学注意事项:1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，测试时间120分钟.5.考试范围:除选考外所有内容.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2257100,|log ,0y A x x x B y x x =-+≤==>.则A B ⋂=（ ） A ．{}0x x > B ．{}5|x x ≥ C ．{}25x x ≤≤D ．{}2|x x ≥2. 若()2262z i i =++，则z 的虚部为（ ）A B ．1- C ．2 D ．13. 各项均为正数的等比数列{}n a 中，1a ={}n a 的前n 项和为3,2n S S =+则7a =（ ）A ．B ．C ．8D ．144. 为了对某贫困村加大产业扶贫，该村推广种植了甲和乙两种药材.为了解这两种药材在该村环境下的效益，今年在种植甲和乙药材的家庭中，各抽取了7户.把平均每亩的产值(千元)做成茎叶图如图所示)，甲药材平均每亩产值(千元)的平均数、中位数分别记作,a b 甲甲.乙药材平均每亩产值(千元)的平均数、中位数分别记作,a b 乙乙.由图可知，以下正确的是（ ）A ．,a a b b >>甲乙甲乙B ．,a a b b ><甲乙甲乙 C. ,a a b b <<甲乙甲乙 D ．,a a b b <>甲乙甲乙5. 已知12tana =，则cos22a sin a +=（ ） A ．15- B ．15 C. 75 D ．736. 已知0.40.2220.5,60.6,0.5,0.6a c log d log ====，则它们的大小关系为（ ） A ．a b c d >>> B ．b a d c >>> C ．a b d c >>>D ．b a c d >>>7. 如图所示是一个几何体的三视图.则该几何体的表面积为（ ）A ．80B ．92C ．104D ．64 8. 由曲线11y x =+，x 轴，y 轴及直线3x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．12B ．ln 3C ．2ln 2D ．1589. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．675B ． 2499C ．2600D ．270310. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为正方形，,PA PB PC PD ===且四棱锥P ABCD -的体积为83，若其各个顶点都在球O 表面上，则球O 表面积的最小值为（ ） A ．8π B ．9π C ．16πD ．18π11. 已知抛物线2:4C y x =上有三个不同的点,,,A B C 直线,,AB BC AC 的斜率分别为,,AB BC AC k k k .若满足:0AB AC k k +=.且ABC V 的重心在直线1y =-上.则BC k =（ ） A ．2- B ．12-C ．3-2D ．23- 12. 已知函数()()3,0.ln 1,0.x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩若()14f x ax ≥-对x R ∈恒成立.则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足2202206120,x y x y x y +-≥-⎧⎪⎨⎪≤⎩+≥--，，则22z x y =+的最小值为 ．14. 将函数()()0,0(),2f x Asin wx A w πϕϕ+>><=的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A w ϕ++= ． 15.过双曲线C 的左焦点1F 且斜率为13的直线l 交双曲线C 的左右两支于,A B 两点，若线段AB 的垂平分线过双曲线C 的右焦点2F .则双曲线C 的离心率为 ．16. 在ABC V 中，O 为外心,CO xCB yCA =+u u u r u u u r u u u r .且21,x y +=13cosB =.则AO AB BO BC⋅=⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且满足2acosB bcosA ccosC +=.()I 求角C ；()II若2a b BD DC ===u u u r u u u r，求点C 到直线AD 的长度.18. 各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S .且242n n n S a a =+.()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 若2n n n b a =.求数列{}n b 的前n 项和n T19. 网上购物是用户使用手机或电脑对所消费的商品或服务进行网络账务支付的一种服务方式，外卖、购物、买票等等我们生活的各个方面都可以通过网上来实现，某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况.并从参与调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格:若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年.把年龄大于或等于65岁的视为老年，将频率视为概率.求()I 在青少年，中年，老年中，哪个群休网上购物的概率最大？()II 现从某市青少年网民(人数众多)中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为X .求随机变量X 的分布列及期望.20. 如图所示，在Rt ABC V 中.90, 4.C AC BC ∠===o过C 作CD AB ⊥于D ，延长CD 到F ，使CD DF =.沿CF 将BCD V 折起，将B 折到点E 的位置使平面ECF ⊥平面ACF .()I 求证:平面EAD ⊥平面ECF ； ()II 求二面角C AE F --的余弦值.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，12,F F 分别为椭圆C 的左，右焦点，直线l 过点1F 与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 的斜率为1时，线段AB 的长为83.()I 求椭圆C 的方程；()II 过点1F 且与直线l 垂直的直线l 与椭圆C 交于,D E 两点，求四边形ADBE 面积的最小值.22. 已知函数()()1f x lnx ax a R =-+∈()I 当1a =时，求满足不等式组()()12122f x f f x f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩的x 的取值范围； ()II 当,()1x ∈+∞时，不等式()2111xax a f x ax e x----+>-恒成立.求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1.C 【解析】{}{}2710025A x x x x x =-+≤=≤≤{}{}25o |l g ,0B y x y R x y y ==>∈=.则{}25A B x x ⋂=≤≤. 2. C 【解析】()()()5252,222i z i i i i -===-++- 2z i =+∴z 的虚部为1.3.A [解析]设公比为,q则)2312312S a a a q q =++=++=+得671q a a q ===6=4. B 【解析】因为369258,8144,3323++>+++>++>+ 所以,a a >甲乙 又21,24b b ==甲乙. 所以b b <甲乙5.C 【解析】22cos a sin a +=222222222222222cos a sin a cosa sinacos a sin a cosa sina cos a cos a cos a cos a sin a cos a sin acos a cos a⋅-+-+⋅=++2222tan tan t 1112172215112an a a a ⎛⎫-+⨯ ⎪-⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎭+⎝ 6.B [解析]0.5xy =Q 是减函数，0.60.50.500.50.50.6,∴<<<60a ∴>>又2y log x =为增函数，220. 50.60,log log ∴<<b a dc ∴>>>7.C [解析]该几何体是由一个棱长为4的正方体挖去一个侧棱平行于正方体棱的正四棱柱后的剩余部分，四棱柱槽的底面边长为2,高为4,则该几何体的表面为2个宽为1长为4的长方形、3个宽为2长为4的长方形、3个边长为4的正方形.边长为4的正方形减去边长为2的正方形2个，表面积为()()122343444222104.⨯+⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯=8. C [解析]所求封闭图形的面积为()()33001ln 1ln 342 2.1ln11ln l dx x x n =+=+-==+⎰9.C 【解析】1,3,i a ==执行循环体3,2,325S i a ===+= 执行循环体35,...,50,3249101S i a =+==+⨯= 执行循环体35...101,5150,103S i a =+++=>= 不执行循环体.所以输出35...1012600S =+++= 10.B [解析]设正方形的边长为,a 中心为,M 棱锥高为,h 球心为,O 半径为,R则228833a h a h =⇒= 在Rt AOM V 中，222,OM AM R +=即()2222220,22a h R a R h Rh ⎛⎫-+⇒⇒-+= ⎪ ⎪⎝⎭故22422a R h h h h=+=+ 令()24f h h h=+则()3338'18h f h h h--=-= 由()'0,f h =得2h =. 在()0,2上，()0f h '<； 在(2,)+∞上，()'0,f h > 故()f h 最小值为()23,f = 即2R 最小值为3. 此时249S R ππ==表.11. D 【解析】设()1122(),,,,),(A m n B x y C x y ， 则()112211144AB y n y n k x m y n y n--===--+同理24AC k y n=+ 121244020y y n y n y n∴+=⇒++=++ 由ABC V 重心纵坐标为1,-得1213y y n++=- 即123y y n ++=-与1220y y n ++=联立得3n = 故,(9,34)A 得出12121244223BC y y k x x y y n -====--+-12. 【解析】画出()y f x =，14y ax =-的图象，直线14y ax =-过点10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭且以a 为斜率，由图可知:0x >时()114ax ln x -≤+成立的条件是0a ≤ 当0x ≤时，314ax x -≤-的临界状态是相切，设切点()00,x y ，则30200011343024x x x a x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-⇒=-⇒=-- 二、填空题13.45[解析]22z x y =+可看作是圆心在原点，的圆，圆心到直线220x y +-=5=时，22z x y =+与220x y +-=相切， z的最小值为245=⎝⎭14.46π+[解析]()2g x sinx =的横坐标缩小为原来的12， 再向左平移几个单位，即得:()226f x sin x π=+⎛⎫⎪⎝⎭故2,,26w A πϕ===.15.2[解析]设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点为(),o o M x y ， 则1290,F MF ∠=︒知: 1OM OF =2,OF c ==2122,MOF MFF ∠=∠ 2212334113OMk tan MOF ⨯=∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=两式作差整理得：220OM AB b k k a -⋅= 即()22222231044432b a b ac ae a -⨯=⇒==-⇒= 16.94【解析】设点M 为BC 的中点， 222CB CO x yCA xCM yCA =+=+u u u ru u u r u u u r u u u u r u u u r由21x y +=可知:,,O M A 共线， 又O 为外心，故AM BC ⊥， 所以AB AC =由投影定义知:221,2AO AB AB BO BC BC ⋅=-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .2222192cos 42AB AB AO AB B BO BC BM BC⎛⎫⋅⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 三、解答题17.【解析】()I 因为2,acosB bcosA ccosC += 由正弦定理得2,sinAcosB sinBcosA sinCcosC +=所以()2,sin A B sinCcosC += 又因为(),sin A B sinC += 且0,C π<<即0,sinC ≠ 所以1,2cosC =故3C π= ()II 设点C 到直线AD 的距离为h ，由2,BD DC =u u u r u u u r得3DC =222282603AD AC DC AC CDcos ∴=+-⋅︒=3AD ∴=ACD V面积1602S AC CD sin =⋅⋅︒=又12ACD S AD h =⋅=V12h =h ∴= ∴点C 到直线AD18. 【解析】()I 由242n n n S a a =+①，得2n ≥时， 211142n n n S a a ---=+②，由-①②得.()()221114()42n n n n n n n S S a a a a a ----==-+-()2211()20n n n n a a a a ----⇔-=得()()1120n n n n a a a a --+--=， 因为{}n a 各项都为正数， 所以120n n a a ---=， 即122,()n n a a n -=≥-又21111424,S a a a =+=故12,a =所以{}n a 为首项为2,公差为2的等差数列， 通项()2212n a n n =+-=()II 12222n n n n n b a n n +==⨯=⨯Q()2341122232...122,n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯③ ()345122122232...1212,n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯④由-④③得()22341222211222 (222221)n n n n n n T n n +++-=-⨯-----+⨯=-+⨯-()2222222124n n n n n +++=⨯-+=-⨯+19. 【解析】()I 青少年网上购物的概率为12334531545604+==+中年网上购物的概率为: 35153534530883+++=+ 老年网上购物的概率为27故青少年网上购物的概率最大.()II 由题意， 3~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()441142506P X C ⎛⎫= ⎪⎝⎭== ()13143112344256641P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==⎪⎪⎝⎭⎝⎭==()2224315427442561282P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==⎪⎪==⎝⎭⎝⎭()3134311082744235664P X C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==⎪ ⎪=⎭=⎝⎭⎝ ()44438142564P X C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭== X 分布列为:X ∴的期望()434E X =⨯=. 20. 【解析】()I B Q 折到E 位置的过程中，90BDC EDC ∠=∠=︒.,CF ED ∴⊥又,CF AD CF ⊥∴⊥平面,EAD 而CF ⊂平面,ECF∴平面EAD ⊥平面,ECF()II Q 平面ECF ⊥平面,ACF 平面ECF ⋂平面,,ACF CF ED CF =⊥ED ∴⊥平面,ABC所以,,DE DB DC 两两垂直，以D 为原点，,,DC DB DE u u u r u u u r u u u r方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系.可得:()(),0,2,0,0,0,6()C A E -，()F -设平面AEC 的一个法向量为(),,m a b c =u r，则020,260,0m AC b b c m AE ⎧⎧⎪⋅=⎪⇒⎨⎨+=+=⋅⎪⎪⎩=⎩u r u u u r u r u u u r令1c =可得:3,)1m =-u r，设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z =r，则020,260,0n AF y y z n AE ⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩⋅=-+=+=⋅=r u u u r r u u u r可得:),1n =-r故7cos ,13m n m n m n⋅===-⋅u r ru r r u r r 故二面角C AE F --的余弦值为713- 21. 【解析】()I由题意可得2c b c a =⇒= 可知:直线l 斜率为1时,A 与上顶点重合，12,AF AF a ==290BAF ∠=︒设1,BF x = 则22,BF a x =- 故()()2222222223aAB AF BF a x a a x x +=⇒++=-⇒=48233AB a a ∴==⇒= 故椭圆C 的方程为22142x y += ()II 当直线l 斜率不存在或斜率为0时，四边形ADBE 面积为4； 当直线l 斜率为()0k k ≠时，直线l的方程为(y k x =，()1122(),,A x y B x y ，，则直线l '的方程为(1y x k=-设()()3344,,,D x y E x y ，将直线l的方程(y k x =代入椭圆C 的方程. 整理得()()222212410,k x x k +++-=此时212212x x k +=-+，()21224112k x x k-=+()224112k AB k +==+同理将直线l '的方程代入椭圆C 的方程整理得()()2222410,kx k +++-=得34x x +=()2342412k x xk -=+得()22412k DE k +===+ 所以四边形ADBE 面积S 为()()222241411212221k k AB DE k k ++⋅⋅⋅=++⨯≥()()222224141132291222k k k k +⋅+⨯=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭当且仅当1k =±时，32,9S =且3249<，所以四边形ADBE 面积最小值为329.22. 【解析】()I 当1a =时，()111xf x x x-'=-==在(]0,1上，函数()f x 为增函数， 在[1,)+∞上，函数()f x 为减函数， 而1()()23310,2f f ln -=->()1743202)1,2(f f n -=-<故3,4,2()o x ∃∈使得()12o f x f ⎛=⎫⎪⎝⎭()(1)2f x f >的解集为012x x <<()12()2f x f ->的解集为00132222x x x x <-<⇒-<<求交集得x 的取值范围为1322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()II 令()()2111xg x ax a f x ax e x-=---+-+ 211ln 1x ax a x e x-=--+-+1x >时，()()01g x g >=成立的一个充分条件是:()0,g x '≥即121120xe ax x x x --++≥ 化为:123112xe a x x x -≥-+令()12311xe h x x x x -=-+则()()124321x x e x x h x x ---+'=当32x ≥时，()123210;x x e x x ---+< 当312x <<时，()12321,11x x e x x --<+>> ()123210x x e x x -⇒--+< ()()'0,h x h x ∴<为减函数， ()h x 最大值为()11h =12a ∴≥当12a <时，()1210,g a =-<若()'g x 在(1,)+∞上无零点，则()()()'0,10,g x g x g <<=不合题意舍去； 若()'g x 在((1,)+∞上有零点，设m 是()'g x 最小零点，则在()1,m 上，()()()'0,10,g x g x g <<= 不合题意舍去，12a ∴≥故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。