d ( n) ( x1(1) ) d ( n1) ( x1(1) ) (1) (1) (1) (1) a1 ... a x b x b x ... b x n 1 1 2 2 3 n 1 n n 1 dtn dt (10.7)
ˆ (a1 , a2 ,...,an b1 , b2 ,...,bn1可以 )T 则微分方程的系数向量为：a 1 T ˆ 通过最小二乘法求解 ；式中 a ( A B ) ( A B ) ( A B) T y N A B 为由( A ， B) 组成的分块矩阵。
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10.1.2 灰色系统的特点
概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不 确定性系统的研究方法，如表10.1所示。研究对象都具 有不确定性，这是三者的共同点。正是研究对象在不确 定性上的区别派生出三种各具特色的不确定性学科。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色模型适用范围分析 （一）作为预测模型，常用GM(n, 1)模型，即只有一个 序列变量的GM模型。这是因为对社会、经济、农业等 系统效益（效果、产量、产值等）的发展变化进行分析 和预测时，只需研究一个变量，即“效果”的数据序列。 （二）作为状态模型，常用GM(1, h)模型。因为它可以 反映h－1个变量对某一变量一阶导数的影响。当然，这 需要h个时间序列，并且事先必须作尽可能客观的分析， 以确定哪些因素的时间序列应计入这h个变量中。但 GM(1, h)模型只能反映其它h－1个变量对某一变量的一 阶导数的影响，不能反映多因素系统内各变量之间的相 互作用。
当j=3时有
(10.2)
a ( n) ( xi(1) , t ) a ( n1) ( xi(1) , t 1) a (n1) ( xi(1) , t )
(10.3)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
再构造如下累差矩阵A，累加矩阵B及常向量yn
..., a (1) ( x1(1) ,2) (1) (1) ..., a ( x1 ,3) ... ... (1) (1) ..., a ( x1 , n)
(10.4)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
1 (1) (1) (1) (1) ( x (2) x (1)), x (2) ... x (2) 1 1 2 n 2 1 (1) (1) ( x (1) (3) x (1) (2)), x (3) ... x 1 1 2 n (3) B 2 (10.4) ... ... ... ... 1 (1) (1) (1) (1) ( x1 (n) x1 (n 1)), x2 (n) ..., xn ( n) 2
( 0)
(1) i i k 1 ( 0) i
i
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
当j=1时有
a (1) ( xi(1) , t ) xi(1) (t 1) xi(1) (t ) xi(0) (t ) (10.1) 当j=2时有
a ( 2) ( xi(1) , t ) xi(0) (t 1) xi(0) (t )
数据挖掘技术与应用
第10章 灰色系统理论与方法
本章提纲
10.1
灰色系统的基础理论 灰色预测模型
灰色聚类分析 灰色综合评价方法 小结
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10.2
10.3 10.4 10.5
10.1灰色系统的基础理论
10.1.1 灰色系统理论介绍 10.1.2 灰色系统的特点 10.1.3 灰色系统建模与适用范围
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10.1.1灰色系统理论介绍
灰色系统理论（Grey System Theory）的创立源于20 世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中美控制系统 学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术 报告中首次使用了“灰色系统”一词。1982年，邓聚龙 发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系 统的控制问题”等引起了高度的重视，美国哈佛大 学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特 （Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多 的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探 索灰色系统理论及其应用研究。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
)i＝1, 2, …, h; t=1, 2,…, N； 定理：给定下列序列： X i (t , 1) 2,…, h; t=1, 2, …, N； (t ) 有相应的一阶累加序列： ,Xii(＝ 1, x (t ) x (k ) 其中： 为一次累加序列；并有相应的多次累差 ( j ) 2, (t ) , h；t=1, 2, …, N；j=1, 2,…, m。 序列： , i＝ a1, (x … , t )
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10.1.1灰色系统理论介绍
灰色系统是通过对原始数据的收集与整理来寻求其发展 变化的规律。这是因为，客观系统所表现出来的现象尽 管纷繁复杂，但其发展变化有着自己的客观逻辑规律， 是系统整体各功能间的协调统一。因此，如何通过散乱 的数据系列去寻找其内在的发展规律就显得特别重要。 灰色系统理论认为，一切灰色序列都能通过某种生成弱 化其随机性的模型而呈现本来的规律，也就是通过灰色 数据序列建立系统反应模型，并通过该模型预测系统的 可能变化状态。灰色系统理论认为微分方程能较准确地 反应事件的客观规律，即对于时间为t的状态变量，通 过方程就能够基本反映事件的变化规律。
a ( n 1) ( x1(1) ,2), a ( n 2) ( x1(1) ,2), ( n 1) (1) ( n2) (1) a ( x , 3 ), a ( x 1 1 ,3), A ... ... ( n 1) (1) ( n2) (1) a ( x , n ) a ( x 1 1 , n)
a ( n ) ( x1(1) ,2) ( n ) (1) a ( x1 ,3) yn ... ( n ) (1) a ( x1 , N )
(10.6)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
若记h个序列n阶微分方程所表达的动态模型，即GM(n, h)模型为：
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色系统GM(n, h)建模 灰色建模是进行灰色预测与灰色决策的基础，其建 模过程可分为五步：语言模型、网络模型、量化模型、 动态模型、优化模型。五步建模过程事实上是信息不断 补充，系统因素及其关系不断明确，明确的关系进一步 量化，量化后关系进行判断改造的过程，是系统由灰变 白的过程。
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10.2 灰色预测模型
10.2.1 建立灰色预测模型 10.2.2 灰色预测模型实例
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10.2.1 建立灰色预测模型
灰色预测是指基于灰色动态模型GM(1, 1)的预测，灰色 预测模型一般指GM(1, 1)模型。数列灰色预测的步骤如 下： 第一步：级比检验，建模可行性分析。 对于给定序列 X ，能否建立精度较高的GM(1,1)预测模 ( 0) ) 型，一般可用 X (0)的级比 (k的大小与所属区间，即其 覆盖来判断。 事前检验准则：设 X x 1, x 2,...,x ,n x (0) (k ), x (0) (k 1) X (0)
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
第二步：数据变换处理 数据变换处理的原则是经过处理后的序列级比落在可容 覆盖中，从而对于级比不合格的序列，可保证经过选择 数据变换处理后能够进行GM(1, 1)建模。通常的数据变 换有平移变换、对数变换、方根变换。
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10.1.3 灰色系统建模与适用范围
灰色模型和其他任何模型一样，不可能具有普遍适用性， 而是有其特定的建模条件。灰色模型的特点在于其建模 机理与其他模型不同，在建模的数据处理上，通过灰色 序列生成找寻数据演变的规律性。在进行灰色系统建模 前需要判断序列是否是光滑序列，数据序列是否满足灰 指数规律。灰色系统的模型GM(n, h)是以灰色模块概念 为基础，以微分拟合法为核心的建模方法。其中 n 表示 微分方程阶数， h 表示参与建模的序列个数，用得较多 的是GM(1, 1)模型。GM(n, h)建模原理如下：
题
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10.1.2 灰色系统的特点
灰色系统着重研究概率统计、模糊数学所不能解决的 “小样本、贫信息不确定”问题，并依据信息覆盖，通 过序列生成寻求现实规律。其特点是“少数据建模”。 与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究“外延明 确，内涵不明确”的对象。比如：到2050年，中国要将 总人口控制在15亿到16亿之间，这“15到16亿之间”就 是一个灰概念，其外延是非常明确的，但如果进一步要 问到底是哪个具体值，则不清楚。灰色系统理论与概率 论、模糊数学一起并称为研究不确定性系统的三种常用 方法，具有能够利用“少数据”建模寻求现实规律的良 好特性，克服了数据不足或系统周期短的矛盾。
10.1.2 灰色系统的特点
表10.1 灰色系统与概率、模糊的对比
概率与数理 统计 模糊数学 样本量大、数据多但缺乏明显规律的问题，即“大样本不确定性 ”问题 人的经验及认知先验信息的不确定问题，即“认知的不确定性” 问题 既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性”问