有理数的混合运算一．常规计算有理数混合运算的运算顺序： 1、 先乘方，再乘除，最后加减； 2、 同级运算，从左到右进行；3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行. 例题：1.计算：（1）（﹣1）3﹣14×[2﹣（﹣3）2]； （2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×13；（3）−18×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×34+1|.练习： 1．计算：（1）﹣12018+|﹣4|+2×（﹣3）； （2）（）×（﹣24）2．计算：（1）23×（1﹣）×0.5 （2）﹣22+[18﹣（﹣3）×2]÷43．计算题 （1）（﹣5） （2）|﹣|÷（）﹣．二． 运算律、规律计算有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律. 例题： 1.计算：（1）﹣14﹣（23﹣34+16）×24； （2）722×（﹣5）+（﹣722）×9﹣722×8；（3）|4﹣412|+（−12+23−16）÷112−22﹣（+5）．2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题． 1+3=4=22; 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42; 1+3+5+7+9=25=52;（1）试猜想1+3+5+7+9+ (19)（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）= ；（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.练习：1．观察下列关于自然数的等式：①2×0+1=12，②4×2+1=32，③8×6+1=72，④16×14+1=152；…（1）请按规律写出第⑤个式子：；（2）根据你发现的规律写出第n个等式，并验证其正确性．2．阅读材料，求1+3+32+33+34+……+32017的值．解：设S=1+3+32+33+34+…+32017……………①①×3得：3S=3+32+33+34+35+……+32018……………②②﹣①得：2S=32018﹣1所以S=请你仿上述方法计算：（1）1+2+22+23+……+22017（2）1+5+52+53+……+5n（其中n为正整数）．3．观察下列等式：①1×3+1=4；②3×5+1=16；③5×7+1=36；…根据上述式子的规律，解答下列问题：（1）第④个等式为；（2）写出第n个等式，并验证其正确性．三．求代数式的值重要结论：互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；例题：1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．练习：1．小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给出一个问题，小明看了很为难，你能帮他一下吗？已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|=2，则+1+m﹣cd的值为多少？2．已知：a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值最小的数．求：代数式的值．3．已知：有理数m所表示的点到原点距离4个单位，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数．求：2（a+b）﹣（﹣3cd）﹣|m|的值．四．实际应用利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：1. 审：审清题意,找出数量关系；2. 列：根据所找的数量关系列出算式；3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；4. 答：给出题目要求的答案.例题：1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．练习：1．国庆黄金周期间，小明一家去峨眉山旅游．现已知峨眉山地区海拔每升高50米，气温就下降0.3℃，位于峨眉山山脚的报国寺海拔高度约为530米，峨眉山山顶的金顶海拔高度约为3080米，某天山脚的报国寺最低气温为14℃，此时山顶的金顶气温为多少？2.在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用T=10﹣来表示，请解答下列问题：（1）若在该地有一座600m高的小山，则山顶的温度是多少？（2）若在某处测得温度为7.6℃，则该项处的高度约为多少？（3）在该地随着高度的升高，每升高1m，温度是怎样变化的？3．参加某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司规定的报销细则如下表．住院医疗费（元）报销率（%）不超过500元的部分超过500至1000元的部分超过1000至3000元的部分0 60 80①某人住院治疗花去医疗费800元，那么此人能得到保险公司报销的金额是多少元？②某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，那么此人的实际医疗费是多少元？五．流程图计算初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.例题：1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.练习：1．按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是．（用科学计算器计算或笔算）2．如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行程序框图，如果输入a，b的值分别为3，9，那么输出a的值为．六．新定义定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.例题：1.阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，_________________．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”练习：1．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab2+2ab+a．如：1☆3=1×32+2×1×3+1=16．（1）求（﹣2）☆3的值；（2）若（☆3）=8，求a的值．2．对于有理数a、b，定义运算：a⊕b=ab﹣2a﹣2b+1．（1）计算：5⊕4的值；（2）计算：[（﹣2）⊕6]⊕3的值；（3）定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．3．我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果a b=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作log a N=b．例如：因为53=125，所以log5125=3；因为112=121，所以log11121=2．（1）填空：log66= ，log381= ．（2）如果log2（m﹣2）=3，求m的值．（3）对于“对数”运算，小明同学认为有“log a MN=log a M•log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．综合练习：1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x 的值为2，输入y 的值为﹣2，则输出的结果为__________．2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x 的值为 ．3.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则m ﹣cd+a+b m值为_________.4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣13）； （2）（−56+23）÷（﹣712）×72；（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷17×[2﹣（﹣3）2]；（4）(−2)3−13÷[−(−12)2]0.125×8+[1−3×(−2)].5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：11×2=1﹣12，12×3=12﹣13，13×4=13﹣14，14×5=14﹣15，……那么： （1）12016×2017=_________；（2）用含有n （n 为正整数）的式子表示你发现的规律__________； （3）计算：11×2+12×3+13×4+ (1)2017×2018．6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；… （1）请写出第5条等式；（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？ （3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：根据以上材料解决问题：若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．。