* 1
1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
由
1 4a ， 2
3
2
例5
解
1 求解方程 y 4 y ( x cos 2 x ). 2 r 2 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
* * 设原方程的特解为 y* y1 y2 . * * (1) 设 y ax b, 则 ( y1 ) a , ( y1 ) 0,
r1 x r2 x
2
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
y(1) 1,
由
5 (C1 2C 2 )e 1, 6 1 1 2 1 C1 C 2 , C 1 e 6 , e 3 解得 1 5 C 1 1 , 2 C1 2C 2 , 2 e e 6
所以原方程满足初始条件的特解为
2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
* 2 x
[ax3 ( 3a b) x 2 2bx]e x , 则(y )
*
[ax3 (6a b) x 2 (6a 4b) x 2b]e x , (y )
*
, ( y* ) 代入原方程比较系数得 将 y ,(y )
* *
1 1 a , b , 6 2
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根 ,
设 y x k e x Qm ( x ) ,
( 2)
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
(3) 可化为齐次的方程
dy ax by c 形如 f( ) dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
令
x X h, y Y k，
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
(4) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
7、欧拉方程
形如
x n y ( n ) p1 x n1 y ( n1) pn1 xy pn y f ( x )
的方程(其中 p1 , p2 pn 为常数)，叫欧拉方程.
欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换
x e t 或 t ln x 可化为常系数微分方程.
* * 的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解.
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
xdy ydx y d 2 x x
xdy ydx d ln xy xy
xdx ydy 1 d ln( x 2 y 2 ) x2 y2 2
xdy ydx 1 x y d ln 2 2 x y 2 x y
例4
求特解 y 2 y y xe x e x , y(1) y(1) 1.
特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根
r1 r2 1,
解
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x )e x . 设原方程的特解为 y x (ax b)e ,
x3 x x2 x 原方程的一个特解为 y* e e , 6 2 x3 x x2 x y (C1 C 2 x )e x e e . 故原方程的通解为 6 2 1 y(1) 1, (C1 C 2 )e 1, 3 3 x x y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e , 6
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
2
特征根的情况
通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
dy n 形如 P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y
y1 n z e
1 n
,
(1 n ) P ( x ) dx
二、典型例题
例1
求通解
y y y y y( x cos y sin )dx x ( y sin x cos )dy . x x x x
解 原方程可化为
y y y dy y cos x x sin x ( ), dx x y sin y cos y x x x
y 令 u , y ux , y u xu. 代入原方程得 x cos u u sin u u xu u( ), 分离变量 u sin u cos u u sin u cos u dx du , 2u cos u x
(1 n ) P ( x )dxdx C ). ( Q( x )(1 n)e
利用全微分表达式求解微分方程
常见的全微分表达式
x2 y2 xdx ydy d 2
xdy ydx y d arctan 2 2 x x y
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]ex
若是k重共轭 复根 i
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce
.
（使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
P ( x )dx dx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
x
( ( 设 y x k e x [ Rm1) ( x ) cos x Rm2 ) ( x ) sin x ],
m 其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式， maxl , n
(1) m ( 2) m
; 0 i不是特征方程的根时 k . 1 i是特征方程的单根时
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
* 1 * 2
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y 与 y 分别是方程,
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
两边积分
C u cos u 2 , x
ln(u cos u) ln x ln C ,
2
y y C cos 2 , 所求通解为 xy cos y C . x x x x
例2
求通解 xy 2 y 3 x 3 y .
4 3
4 2 原式可化为 y y 3 x 2 y 3 , 伯努利方程 解 x 4 2 1 即 y 3 y y 3 3 x 2 , x 1 2 3 3 z z 3 x 2 , 令 z y , 原式变为 x 2 即 z z x2 , 一阶线性非齐方程 3x