《线性代数》作业第一章1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n -1)n 的逆序数。
解：后面是正常顺序，逆序出现在前n 个数与后n 个数之间，2n 的逆序数是2n-1，2n-1的逆序数是2n-2，……，n+1的逆序数是n ，所以整个排列的逆序数是(2n-1)＋(2n-2)＋……＋n ＝n(3n-1)/22、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。
解析：后一项比前一项的算逆序一次，246......(2n)无逆序，所以从1开始，有246......(2n)共N 个，3开始有46......(2n)有N-1个，.......，.2n-1有一个，所以，加一起得，逆序数为1+2+......+N=N （N+1）/2N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/23、试判断655642312314a a a a a a ，662551144332a a a a a a -，662552144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项。
解a 14a 23a 31a 42a 56a 65 下标的逆序数为 t （431265）=0+1+2+2+0+1=6所以655642312314a a a a a a 是六阶行列式中的项。
662551144332a a a a a a -下标的逆序数为 t （452316）=8所以662551144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。
662552144332a a a a a a -下标的逆序数为t(452316)=8所以662552144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。
4、已知4阶行列式D 中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余子式依次为8，2，-10，X ，求X 。
解：X=205、设15234312a a a a a j i 是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则 i= 5 ,j= 4 。
6、要使3972i15j4成为偶排列，则 i= 6 ,j= 8 。
7、设D 为一个三阶行列式，并且D=4，现对D 进行下列变换：先交换第1和第2行，然后用2乘以行列式的每个元素，再用-3乘以第2列加到第3列，则行列式最后结果为 32 。
8、设对五阶行列式（其值为m ）依次进行下面变换，求其结果：交换一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，现用-3乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。
解析：交换一行与第五行 行列式的值变号转置 行列式的值不变用2乘所有元素 行列式的值乘以2^5现用-3乘以第二列加到第四列 行列式的值不变最后用4除以第二行各元素（应该是用4“除”第二行各元素吧？） 行列式的值乘以1/4最终行列式的值是：m×(-1)×2^5×1/4＝－8m9、计算下列行列式6741212060311512-----10、设方程。
043170225=--xx xx 求x 3的系数。
11、 设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.12、n 阶行列式D n =0110000000001000010----= 。
13、当k= 时，行列式。
0212101=-kkk14、已知行列式60146528253010184214==D ，则2（A 21+A 23）= 。
其中A 21和A 23分别为元素a 21和a 23的代数余子式。
15、计算下面n+1阶行列式的值。
其中b i ≠0nn b b b a a a .......001............0......010......01......12121---16、计算n 阶行列式：02 (222)20......222...........22 (0222)2 (202)22......220=D第二章30011993010100001184731135100001010.2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛求)(0112131131)(. .12A f ，，A x x x f 求已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=3、已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400030002，矩阵X 满足X A X A +-=-*1，其中*A 为A 的伴随矩阵，则X= 。
X 。
A ，r x A 求,2)(23114123221.4=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=5、 如果A 为n 阶方阵，求**)(A6、设矩阵B A ,满足,82*E BA BA A -=其中=A ,121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*A 为A 的的伴随矩阵，E 为单位矩阵，求矩阵B .7、 A 为n 阶可逆矩阵，则下列（ ）恒正确(a).(2A)T =2A T , (b). (2A)-1=2A -1, (c). [(A -1)-1]T =[(A T )-1]-1, (d). [(A T )T ]-1=[(A -1)-1]T8、如果A ，B 满足关系式（A -1-I ）B=6I ，其中I 为三阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020002A ，则B= 。
9、设矩阵方程,411021⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛X 则矩阵X= 。
10、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100110A ，则A 3的秩为 。
11、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--513730423。
12、已知矩阵A 和B 均可逆。
求分块矩阵1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O13、设 A 、 B 均为三阶方阵，设-11, B 3, -2B 2T A A ===则 。
14、矩阵A 的逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3113211A ，且=A 6，则A *= 。
15、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求与A 可交换的矩阵。
16、用初等变换求A -1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201424021A17、设 AX=B 其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=632,111012111B A , 求X.。
18、设C ,B ,A 均为n 阶矩阵,且满足,E ABC =则下式中哪些一定成立?(1) BCA=E; (2) BAC=E; (3) ACB=E; (4) CBA=E; (5) CAB=E;第三章1、问线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=++211321321321ax x x x ax x x x ax .在a 取什么值有无解、无穷解？并在无穷解时求出全部解。
2、设β1=2α1-α2， β2=α1+α2， β3= -α1+3α2，证明β1， β2， β3线性相关。
3、已知向量组α1=(k,2,1), α2=(2,k,0), α3=(1,-1,1), 试求k 为何值时，向量组α1, α2, α3线性相关？线性无关？4、已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k ，k ，12602121321ααα线性相关。
并且k ≠6，则k= 。
5、如果向量组321,,ααα线性无关，证明向量组133221,,αααααα+++线性无关。
6、向量组α1, α2, ……, αs 线性无关的充分条件是（ ）(a). α1, α2, ……, αs 都不是零向量。
(b). α1, α2, ……, αs 中任意两个向量都不成比例。
(c ). α1, α2, ……, αs 中任意一个向量均不能由其它s-1个向量线性表示。
(d). α1, α2, ……, αs 中任一部分组线性无关。
7、已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k 31 ,42 ,201321ααα，则当k 取什么值时，321,,ααα线性相关？8、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=532 ,853 ,532 ,2114321αααα 的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。
9、问当a 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-++=+--39ax 0)1(31432321321x x a x x x x x无解；有唯一解；无穷多解？当有无穷解时求出其全部解，当有唯一解时不用求出其解。
10、已知向量组：TTT T )6,3,2,1(,)0,0,1,1(,)2,1,1,0(,)2,1,0,1(4321=-===αααα（1）、求向量组的秩；（2）、求向量组的一个极大无关组； （3）、将其余向量用这个极大无关组来线性表示。
11、设有如下线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+ax x x x x x x x x x x x 4321432143212222412 （1）、a 取何值时方程组有无穷解？（2）、在有无穷解的条件下求出方程组的全部解。
12、求下列向量组的一个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表示。
α1=(1,0,1,1)T , α2=(0,1,0,-1)T , α3=(0,0,1,-3)T , α4=(2,-1,3,0)T13、求向量组T T T T t t )1,4,2,3(,)2,5,4,0(,)0,,0,2(,)1,1,2,1(4321-+-=--==-=αααα的秩和一个极大无关组。
证明题1、已知n 阶方阵A 满足0322=-+I A A ,试证 2A I +可逆，并求 ()12A I -+。
. , , ,, , , , .2414332214321线性相关则向量组线性无关证明如果向量组αααααααααααα++++3.设A 是n 阶方阵并且满足AA T =E ，1-=A ，E 为单位矩阵，证明行列式0=+E A 。
4、如果向量组α1，α2，……,αs 线性无关，试证：向量组α1，α1+ α2，……, α1+ α2 +……+αs 线性无关。
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