【课时训练】第31节 不等关系与不等式
选择题
1．(江西七校联考)若a ,b 是任意实数,且a ＞b ,则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b
C ．lg(a －b )＞0
D ．b a >1
【答案】B
【解析】取a ＝13,b ＝－12,则a 2＝19,b 2＝14,∴a 2＜b 2
,lg(a －b )＝lg 56＜0,b a ＜0＜1,故排除A,C,D 选项,选B.
2．(四川绵阳一诊)若x ＞y ,且x ＋y ＝2,则下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2
＜y 2
B ．1x ＜1
y C ．x 2＞1 D ．y 2＜1
【答案】C
【解析】因为x ＞y ,且x ＋y ＝2,所以2x ＞x ＋y ＝2,即x ＞1,则x 2＞1,故选C. 3．(成都五校联考)若a <0,则下列不等式成立的是( )
A ．2a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
＞(0.2)a
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a
＞(0.2)a ＞2a
C ．(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
＞2a
D ．2a ＞(0.2)a
＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
【答案】C
【解析】若a ＜0,根据指数函数的性质可知(0.2)a
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a
＞1,又2a ＜0,所以(0.2)a
＞⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12a ＞2a .故选C. 4．(浙江宁波模拟)已知a ＞b ,则“c ≥0”是“ac ＞bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】当⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2＞
b ＝1，
c ＝0时,ac ＞bc 不成立,所以充分性不成立;当
⎩⎪⎨⎪⎧
ac ＞bc ，
a ＞b
时,c ＞0成立,c ≥0也成立,所以必要性成立．所以“c ≥0”是“ac ＞bc ”的必要不充分条件,故选B.
5．(全国名校大联考第三次联考)若a ＜b ＜0,则下列不等式中一定不成立的是( )
A.1a ＜1
b B ．－a ＞－b C ．|a |＞－b D ．
1a －b
＞1
b 【答案】A
【解析】∵a ＜b ＜0,∴1a －1b ＝b －a ab ＞0,1a ＞1
b ,A 不正确;－a ＞－b ＞0,－a ＞－b ,B 正确;|a |＞|b |＝－b ,C 正确;当a ＝－3,b ＝－1,1a －b ＝－12,1b ＝－1时,
1a －b ＞1
b ,此时D 成立．故选A.
6．(山东德州模拟)已知a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0,则下列不等式恒成立的是( )
A ．a 2＜b 2＜c 2
B ．ab 2＜cb 2
C ．ac ＜bc
D ．ab ＜ac
【答案】C
【解析】∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ,∴a ＜0,c ＞0,∴ac ＜bc ,故选C. 7．(陕西西安二模)如果a ＞b ＞1,c ＜0,在不等式①c a ＞c
b ;②ln(a ＋
c )＞ln(b ＋c );③(a －c )c ＜(b －c )c ;④b e a ＞a e b 中,所有恒成立的序号是( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②③④
D ．①②④
【答案】B
【解析】用排除法,∵a ＞b ＞1,c ＜0,∴可令a ＝3,b ＝2,c ＝－4,此时a ＋c <0,b ＋c <0,∴②错误,排除A,C,D ,故选B.
8．(厦门模拟)对于0＜a ＜1,给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a ⎝
⎛
⎭
⎪⎫1＋1a ;
②log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1a ;③a 1＋a ＜a 1＋1a ;④a 1＋a ＞a 1＋1a .其中正确的是( )
A ．①与③
B ．①与④
C ．②与③
D ．②与④
【答案】D
【解析】由于0＜a ＜1,所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x 在定义域上都是单调递减函数,而且1＋a ＜1＋1
a ,所以②与④是正确的．
9．(太原模拟)若6＜a ＜10,a
2≤b ≤2a ,c ＝a ＋b ,那么c 的取值范围是( ) A ．[9,18] B ．(15,30) C ．[9,30] D ．(9,30)
【答案】D
【解析】∵a 2≤b ≤2a ,∴3a 2≤a ＋b ≤3a ,即3a
2≤c ≤3a .∵6＜a ＜10,∴9＜c ＜30.故选D.
10．(山东潍坊一模)已知a ,b ,c ∈R ,则下列命题正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2
＞bc 2
B ．a c ＞b
c ⇒a ＞b C.
⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1
b D ．
⎭⎪⎬⎪⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1
b
【答案】C
【解析】当c ＝0时,ac 2＝0,bc 2＝0,由a ＞b 不能得到ac 2＞bc 2,A 错误;当c
＜0时,a c ＞b c ⇒a ＜b ,B 错误;因为1a －1b ＝b －a
ab ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＞0，a ＜b 或⎩
⎪⎨⎪⎧
ab ＜0，a ＞b ，D 错
误,C 正确．故选C.
11．(贵州贵阳模拟)已知a ,b 为正实数, ①若a 2－b 2＝1,则a －b ＜1; ②若1b －1
a ＝1,则a －
b ＜1; ③若|a －b |＝1,则|a －b |＜1;
④若|a 3－b 3|＝1,则a －b ＜1. 上述命题中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
【答案】D
【解析】若1b －1a ＝1,不妨取a ＝2,b ＝2
3,此时a －b ＞1,命题②错误,排除A,B 选项;若|a －b |＝1,不妨取a ＝4,b ＝1,此时|a －b |＞1,命题③错误,排除C 选项,故选D.
12．(河南郑州模拟)若1b ＜1
a ＜0,则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜
b 2 B ．ab ＞b 2 C ．a ＋b ＜0 D ．|a |＋|b |＝|a ＋b |
【答案】A
【解析】由1b ＜1
a ＜0可得a ＜
b ＜0,所以a 2＞b 2,故A 错,故选A.
13．(山西质量监测)设a ,b ∈R ,函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1),则“f (x )＞0恒成立”是“a ＋2b ＞0成立”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由“f (x )＞0恒成立”可得⎩⎪⎨⎪⎧
f (0)＝b ＞0，
f (1)＝a ＋b ＞0，所以a ＋2b ＞0成立;
反之,当a ＋2b ＞0成立时,则无法得到⎩
⎪⎨⎪⎧
f (0)＝b ＞0，
f (1)＝a ＋b ＞0成立,所以“f (x )＞0恒成
立”是“a ＋2b ＞0成立”的充分不必要条件,故选A.
14．已知a ,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0
D ．(b －1)(b －a )>0
【答案】D
【解析】因为a ,b >0且a ≠1,b ≠1,所以当a >1,即a －1>0时,不等式log a b >1可化为a log a b >a 1,即b >a >1,所以(a －1)(a －b )<0,(b －1)(a －1)>0,(b －1)(b －a )>0.当0<a <1,即a －1<0时,不等式log a b >1可化为a log a b <a 1,即0<b <a <1,所以(a －1)(a －b )<0,(b －1)(a －1)>0,(b －1)(b －a )>0.综上可知,故选D.
15．(豫西南联考)如果a ＞0＞b 且a 2＞b 2,那么以下不等式中正确的个数是( )
①a 2b ＜b 3;②1a ＞0＞1
b ;③a 3＜ab 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】因为a 2>b 2,b <0,所以a 2b <b 3,故①正确;因为a 2>b 2,a >0,所以a 3>ab 2,故③错误;所以正确的个数为2,故选C.
16．(湖北武汉调研)已知x ,y ∈R ,且x ＞y ＞0,若a ＞b ＞1,则一定有( ) A.a x ＞b y B ．sin ax ＞sin by C ．log a x ＞log b y D ．a x ＞b y 【答案】D
【解析】对于A ,当a ＝3,b ＝2,x ＝3,y ＝2时不成立,排除A;对于B ,当a ＝30,b ＝20,x ＝π2,y ＝π
4时不成立,排除B;对于C ,当a ＝3,b ＝2,x ＝3,y ＝2时不成立,排除C ,故选D.。