2017年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共10个小题,每小题8分,共80分.1.在多项式310(1)(2)x x -+的展开式中6x 的系数为 ． 2.已知3)5a -=,则实数a = ． 3.设2()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则22a b -的取值范围为 ． 4.设x ,y R ∈,且222222sin cos cos cos sin sin 1sin()x x x y x y x y -+-=+,则x y -= ．5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增；命题q ：函数2()1g x x ax =++（x R ∈）．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为 ．6.设S 是5(0,)8中所有有理数的集合，对简分数q S p ∈，(,)1p q =，定义函数1()q q f p p +=，则2()3f x =在S 中根的个数为 ． 7.已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆22(1)(2)1x y -+-=和圆22(3)(4)3x y -+-=上，则||||PM PN +的最小值为 ．8.已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 ．9.已知平面向量a r ，b r ，c r ，满足||1a =r ，||2b =r ，||3c =r ，01λ<<，若0b c ⋅=r r ，则|(1)|a b c λλ---r r r 所有取不到的值的集合为 ．10.已知22,0,()1,0,x x f x x x -<⎧=⎨-≥⎩方程()|()2*40f x f x a +--=有三个根123x x x <<．若32212()x x x x -=-，则实数a = ．二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）11.设1()f x =，1()n f x +=，1n =，2，…．对每个n ，求()n f x 3x =的实数解．12.已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线(2)y k x =-交椭圆于P ，Q 两点(0)k ≠．若PQ 的中点为原点，直线ON 交直线3x =于M ．（1）求MFQ ∠的大小；（2）求PQ MF的最大值． 13.设数列{}n a 满足：1|2|2n n a a +-=，||2n a ≤，n =1,2,3，…．证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列．14.设1a ，2a ，3a ；1b ，2b ，3b Z +∈，证明：存在不全为零的数1λ，2λ，{}30,1,2λ∈，使得112233a a a λλλ++和112233b b b λλλ++同时被3整除．15.设{}12,,n a a a σ=…,为{}1,2,,n …的一个排列，记11()n i i i F a aσ+==∑，11n a a +=，求min ()F σ．2017年浙江省高中数学竞赛答案一、填空题1.4128-2.23.[]0,24.22k ππ+（k Z ∈） 5.(2,1][2,)-+∞U6.57.18.0,arctan 7⎡⎢⎣⎦9.(1)(4,)-∞+∞U 10.32 三、解答题11.证明：利用数学归纳法．（1）2x =是()3n f x x =的解．当1n =时，2x =是1()f x =3x =的解.当n k =时，设(2)6k f =，则1(2)6k f +==. 由此可得2x =是()3n f x x =的解（对于所有的n ）.（2）当2x >时，23()32n f x x x <<．当1n =时，213()3(2)2f x x x x =<<>．当n k =时，设23()32k f x x x <<，则1()3k f x x +=<=． 由此可得2x >都不是()3n f x x =的解（对于所有的n ）．（3）当02x <<时，()3n f x x >．当1n =时，1()3f x x =>=（02x <<）.当n k =时，设()3k f x x >，则1()3k f x x +=>>． 由此可得02x <<都不是()3n f x x =的解（对于所有的n ）．因此，对每个n ，()3n f x x =的实数解为2x =．12.解：（1）联立221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得2222(31)121260k x k x k +-+-=． 设P 点的坐标为(,)p p x y ，Q 点的坐标为(,)q q x y ， 则221231p q k x x k +=+，2212631p q k x x k -=+． 于是有24()431p q p q k y y k x x k k -+=+-=+． 因为PQ 的中点为N ，所以22262(,)3131k k N k k -++，因此ON 的斜率13ON k k=-， 因为直线ON 交直线3x =于M ，所以1(3,)M k -，故MF 的斜率为1MF k k =-， 即得1MF PQ k k ⋅=-，因此MF 与PQ 垂直，2MFQ π∠=．（2）2222222()()()()11p q p q p q x x k x x PQ I k x x MF k-+-===-+22()4p q p q k x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 4222221442124(31)31k k k k k ⎡⎤-=-⎢⎥++⎣⎦2222124(31)k k k +=+． 令231u k =+，则2(1)(2)83u u I u -+=221611116119()()3223416u u u ⎡⎤=---=---⎢⎥⎣⎦， 由于2311u k =+>，故101u≤< . 因此max 3I =（当4u =时取到最大值，也即1k =±）． 综上所述，PQ MF13.证明：（1）若1a 为有理数，则{}n a 为一个有理数数列．（2）对于任意的n ，设n y a x=，(,)1y x =，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立： 12222n n y x a a x ++=+=或12222n n y x a a x+-=-=． (*) n a 与1n a +有相同的分母（不进行约分）．（3）设1q a p=，(,)1p q =，则n n b a p =，n b 为整数，由于||2n a ≤，n =1，2,3，…，因此22n p b p -≤≤．（4）若存在两个自然数k l <，使得k l a a =，则由（2）中得到的（*）递推公式以及||2n a ≤，n =1,2,3，…，可得{}n a 从第k 项开始是一个周期数列，周期为l k -．（5）由（3）可知对于任意的n ，n b 的值只有41p +（有限个），故总能找到k l <，使得k l b b =，从而有k l a a =．综上所述，如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列．14.证明：不妨设(mod3)i k a k ≡，(mod 3)i i b l ≡，i k ，{}0,1,2i l ∈，1,2,3i =．则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数1λ，2λ，{}30,1,2λ∈，使得112233112233(mod3)0(mod3)k k k l l l λλλλλλ++≡++≡．(*)记1221(mod 3)k l k l c -=，这里{}0,1,2c ∈．情形（1）当0c =时，则110k l ==，或者1k ，1l 不全为零．若110k l ==，则取11λ=，230λλ==，有（*）式成立．若1k ，1l 不全为零，不妨设10k ≠，则取12k λ=,21k λ=-,30λ=,且112233211211223321120(mod3),0(mod3),k k k k k k k l l l k l k l λλλλλλ++=-≡⎧⎨++=-≡⎩即(*)式. 情形（2）当1c =或2时，即21(mod3)c ≡．记23321()(mod3)c k l k l c -≡，31132()(mod3)c k l k l c -≡，这里1c ，{}20,1,2c ∈． 令11c λ=，22c λ=，31λ=，则1λ，2λ，3λ{}0,1,2∈且不全为零，且11223311223k k k c k c k k λλλ++=++23321311323()()(mod 3)c k l k l k c k l k l k k ≡-+-+321123()(mod 3)ck k l k l k ≡-+23(1)(mod 3)0(mod 3)c k ≡-≡，类似可以证明1122330(mod 3)l l l λλλ++≡．综上所述，可以取到不全为零的数1λ，2λ，{}30,1,2λ∈，使得（*）式成立．15.解：问题等价于圆周上放置n 个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值记为n T ．不妨设1a n =，则数字1必与它相邻，否则设1j a =（2j ≠，n ），则可将2a ，3a ，…，j a 的数字改变为j a ，1j a -，…，2a 上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为121121112()()0j j j j j j a a a a a a a a a a a a ++++--=--<．于是可确定21a =．再说明数字2也必与数字n 相邻，即2n a =．事实上，若2j a =（j n ≠），则交换n a ，1n a -，…，j a 为j a ，1j a +，…，n a ，此时的目标改变值为111111()()0j n j n j j j j n a a a a a a a a a a a a ---+--=--<．因此目标取到最小值时，1a n =，21a =，2n a =．由此出发，依次可得31a n =-，12n a n -=-． 在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大对小，小对大放置．由此规律即得43a =，24n a -=，53a n =-，34n a n -=-，…．下面用递推法计算n T ．考虑2n +个数字，我们在n T 的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，2n +这两个数字，在2，1n +的中间插入2n +，1，即可得到2n T +．因此，2'(1)(2)2(2)2(1)n n T T n n n n +=++++++-+，其中11'(1)(1)(2)n n ii n i T a a T n n +==++=++∑，由此可得2245n n T T n n +=+++， 可以推出32321151,2,6261151,2 1.6262n n n n n m T n n n n m ⎧++-=⎪⎪=⎨⎪++-=-⎪⎩。