FC
M C B
E l
M 0
FC M l
M FC l 0
FB
3) 再以ADC丁字杆为研究对象
D FD FAx A l FAy C l F'C
由Fx=0，可得
FAx=F'C=FC=M/l
M
D
0
FAx l FAy l 0
M l
FAy
3.4 物体系的平衡
பைடு நூலகம்
FO '
M 2 - FB '? O1 B
由
0
FB ' = FB = FA = FA ' = 5N
M 2 = 3N ?m
22
3.2 力偶系的平衡
例题 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，
圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作
用有力偶， F1=3N ， F2=5N ，构件自重不计。求 : 轴承 A,B处的约束力。
FAx +
ò
0
q ?xdx 3l
F cos300 = 0
FAy - P - F sin 300 = 0
33
3.3 平面任意力系的平衡 4.平面平行力系的平衡方程
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
Fy 0 M A 0
M A 0 M B 0
各力不得与投影轴y垂直
M 2 - FA '? AB FB = FA '
0
M 2 = FA '? AB FB = FA ' = 8KN
8KN ?m
19
3.2 力偶系的平衡
例题 三联杆机构在图示位置平衡。已知： M1=1N· m ， OA=0.4m ， O1B=0.6m ， OA 与 AB 杆的夹角为30°试求M2和AB杆的内力。 B O M2 O1 M1 A
两个方程两个未知数
9
注意
TBP = TBD = P
3.1 汇交力系的平衡
例题 铰链四杆机构CABD的CD边固定，在铰链
A 、 B 处有力 F1 、 F2 作用。该机构在图示位置平
衡，杆重略去不计。求力F1与F2的关系。
B A
45
30
90
C
0
F1
F2
60
D
解： 1）AB，AC,BD均为二力杆
F2 cos30? FBA ' = 0
5）建立图示坐标系，建立平衡方程
å
X=0
6）根据式3）和5），得到F1和F2关系
F1 FAB 'sin 450 3 = = = 0.61 F ' F2 2 2 BA cos 300
12
3.1 汇交力系的平衡
例题 墙角处的吊架由两端铰接的杆 OA、OB 和软绳 OC构成。两杆分别垂直墙面，由 OC绳维持在水平面 内。 已知：节点O处悬吊重物P＝10 kN，OA＝30 cm， OB＝40cm，OC绳与水平面夹角为 30°。若杆重不计， 试求绳的拉力和二杆所受的力。 C
RA
A
F
45 °
FB
B
2）选择坐标轴，按图示坐标系列出平衡方程
å å
X = 0,
Y = 0,
RA cos a - F cos 45?
RA sin a - F sin 45?
0
FB = 0
两个方程，两个未知量
6
解二： 1）研究对象AB杆，画受力图
RA y
A
O
F
RA x
C
45 °
FB
B
2）选择坐标轴，按图示坐标系列出平衡方程
F
x
0,
解得
Fox FA sin 0
Fox FR l 2 R2
F
y
0,
解得
Foy FA cos 0
Foy F
3.4 物体系的平衡
例题 图示结构中，C处为铰链连接，各构件的自重略去 不计，在直角杆 BEC 上作用有矩为 M 的力偶，尺寸如图 所示。试求支座A的约束反力。
解： 1）AB，BC为二力杆
FAB
A B
FBC
B
FBA
2）取B点（含滑轮和销轴）为研究 对象，画受力图 FBA '
FCB
C
y
FBC '
TBD
3）建立图示坐标系，建立平衡方程
B 300 T BP x
å
X= 0,
- FBA '+ TBP cos60 - TBD cos30 = 0
å
Y= 0,
FBC '- TBP cos30 - TBD cos60 = 0
l/2 l/2 C FP B
FAx
l/2 A FAy
l M 0 F cos 45 FP l 0 A D 2 FD 2 FPl / cos 45l 2 2 FP
因此撑杆CD受力：
FCD FD 2 2FP 压力
45 FD
D
l M 0 F FP l 0 D Ax 2
i i i

可解3个 未知量
平面
F F
xi yi
0 0
X 0 Y 0
i i

可解2个 未知量
3.1 汇交力系的平衡
例题 水平梁AB受力F＝1kN作用，梁的重量
不计。求A、B支座的约束反力。
F
A 3m
45 ° B
1.5m
解： 1）研究对象AB杆，画受力图
范钦珊著：理论力学/第3章
25
3.3 平面任意力系的平衡
1. 平面力系的平衡条件
力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。
0 FR
MO 0
解析表达式
F 0 F 0 M 0
x y O
O 为矩心
3.3 平面任意力系的平衡 2. 平面任意力系的平衡方程
一矩式方程
F 0 F 0 M 0 x、y轴不能平行
3.3 平面任意力系的平衡
例题 已知M=qa。求图示结构支座A、B处的约束力。
以AB梁为研究对象，画受力图 Fx 0 FAx 0
M
A
0
FB 4a M P 2a q 2a a 0
Fy 0
FAy q 2a P FB 0
3 1 FB P qa 4 2 P 3 FAy qa 4 2
例题 已知P=10kN，P1=40kN，尺寸
如图所示。求轴承A、B处的约束力。
解：画受力图
M
A
0
FB 5 1.5 P 3.5 P 1 0
FAx FB 0
FAy P 1P0
Fx 0
Fy 0
FB 31kN
FAx 31kN
FAy 50kN
3.3 平面任意力系的平衡
例题 求固定端A处约束力。
1)以ABD梁为研究对象，画 受力图
FAy
2)列平衡方程
MA
M A - M + F cos30 ?3l
3l
0
FAx
M A Fi 0
Fx 0
Fy 0
F sin 30 ?l
0
ò
3l
0
q 鬃 x (3l - x)dx = 0 3l
A、B两点连线不得与各力平行
3.4 物体系的平衡
静定问题：未知量个数等于独立的平衡方程个数； 超静定问题：未知量个数大于独立的平衡方程个数。
二者的差为超静定的次数。
3.4 物体系的平衡
3.4 物体系的平衡
例题 图示结构中，A、C、D三处均为铰链约束，横杆 AB在B处承受集中载荷 FP。结构各部分尺寸如图所示。 已知FP和l。试求撑杆CD的受力以及A处的约束反力。
FAx 2FP
l l M 0 F F 0 C Ay P 2 2 FAy FP

3.4 物体系的平衡
例题 已知：OA=R，AB= l，冲力F，不计物体自重与 摩擦， OA 处于水平位置系统平衡。求：平衡时力偶矩 M 的大小；轴承O 处约束力；连杆AB 受力；冲头给导 轨的侧压力。
M D C A l l M D C A B l E l D C l A FAx F'C FC M C B E l FB B
1) 受力分析，选择研究对象
E l
以整体为研究对象；
共有4个未知反力（3个方程）； 从中间铰C处分开。
FD
l
FAy
3.4 物体系的平衡
2) 以BEC直角杆为研究对象 因力偶必须由力偶来平衡，故FC与FB 等值、反向，组成一反力偶。因此，有
解： 1）选轮O为研究对象，画受力图
FA
A d O M1
FO
B 2）轮O力偶系平衡
M 1 - FA ? d FA = FO
0
M1 M1 FA = = = 8 KN d AO sin a FO = FA = 8 KN
18
3）选BAC杆为研究对象，画受力图 C M2
FA '
A
O
FB
B
4）BAC杆力偶系平衡
第3章 力系的平衡问题
第3 章
力系的平衡问题
3.1 汇交力系的平衡
3.2 力偶系的平衡
3.3 平面任意力系的平衡
3.4 物体系的平衡
3.5 平面简单桁架的内力计算
3.6 空间力系的平衡
3.1 汇交力系的平衡
汇交力系平衡的必要和充分条件： 该力系的合力为零。 汇交力系平衡的必要和充分条件（几何解释）：