第四章 平面力系的简化与平衡方程
工程实例：
厂房吊车梁实例：
平面任意力系：
本章任务：
（1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 （2）掌握平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）
一、平面一般力系向一点(简化中心O点)简化：
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；
（2）列平衡方程， 求解未知力。 ∑X=0，XA +qL =0 XA A
1.5L
q
B
NB
L
X
∑Y=0，YA +NB
=0
YA
∑ mA（Fi）=0 1.5LNB -0.5L×qL =0
XA =-qL(←)
NB =qL/3
YA = -qL/3(↓)
[例4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在 水平力P的作用下各支座的约束反力。
[例4-1] 在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有 F1、 F2 、 F3 、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N， F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。
解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7N R′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1N R′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4N cos=60.7/122.4 , =60.27°
1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态。
平衡
2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩。并且简化结 果与 简化中心位置无关。
Y MO≠0 O X
合力偶
Y
R´≠0
合力
O X
3．若 R´≠0， Mo=0，原力系 简化为一合力， 合力通过简化中 心。主矢R´即为 原力系的合力。
a/2
q
XA A YA
a YC Xc
a
B XB X
YB P
XB=(YB×a-P×a/2)/a
= qa/4+P/4
∑X=0 XC=XB=qa/4+P/4 ∑Y=0 YC=P-YB=P/4-qa/4
Xc′ Yc′
XA
q
YA
YB XB
a
六、考虑摩擦的平衡问题
静摩擦系数 P56 表4-1
求解考虑摩擦的平衡问题，需要注意以下三点：
ˋˊ
MO

R´
A C
Fn
B
Fi
F2
O mn Fn ´
m2 mi Fi O
O

X
Mo= Rd= Rd=mo(R) Mo =∑mo （Fi）
d
R=Rˊ
d=MO/R′
Mo(R) =∑mo （Fi）
合 力
三、平面任意力系的平衡条件 · 平衡方程
1．平面一般力系平衡的充分与必要的条件是： R′=0， Mo=0
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图； （2）二矩式平衡方程： ∑mL（Fi）=0 ∑mB（Fi）=0 y NA
30°
P
x a
A K
a
NB
Pa-NC a+2aNAcos30°=0
∑Y=0，
NC L C a
NB-NAcos30°=0
NA=-1.62P(↖) NB=-1.40P(↓) NC=-1.81P(→)
y F4
60° F3
30°
cos= -106.1/122.4， =29.9°
MA=∑Mo（Fi）=(-60cos45 °-60×cos60 ° A -60sin60 +80sin30 °) ×1 R MA =-84.4 N· m
F1
x
F2
二、平面力系简化结果讨论
Y R′=0 MO=0 O X
2．平面一般力系的平衡方程： （1）一般式： ∑X=0， ∑Y=0， ∑ Mo（Fi）=0
（4-9）
（2）二矩式：
∑X=0， ∑mA（Fi）=0 ∑mB（Fi）=0
（4-10）
限制条件：X轴不能与A点和B点的连线垂直。
Y
R´≠0
B O
A X
若不满足限制条件，不能保证为 平衡力系，方程组线性相关。
（3）三矩式：
MO
Rˊ O
OdR=Rˊ源自Rˊ≠0d=MO/R′
合 力
4．若 R´≠0， Mo≠0，原力系可 通过应用力的平移 定理进一步简化为 一合力。合力的作 用线不通过简化中 心O。
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用平面内任意 一 点之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和。 Y
F1 F1 ´ m1 F2 ´
五、物体系的平衡问题
[例4-8]由折杆AC和BC铰接组成的厂房排架结构如图 所示。求固定支座A和B的约束反力。 解（1）取整体为研究对象： y
∑X=0 XA + qL =XB ∑ mA（Fi）=0 YB=(qa2/2+P×3a/2)/(2a) = qa/4+3P/4 (2)取BC为研究对象： ∑ mc（Fi）=0 C P
(1)研究临界平衡状态，作受力图时，在有摩擦力的接触 面除了要画出法向反力FN之外，还要画出最大静滑动摩擦 力Fmax，力Fmax的指向与物体的运动趋势相反。 (2)列出平衡方程之后，还要写补充方程Fmax ＝fs·N。有 F 几个不光滑的接触面，就要写几个补充方程。 (3)由于考虑摩擦的平衡问题的解是有范围的，求解后要 分析解的范围，将问题的解用不等式表示。
（6+2）Qmin+2P-W（12-2）=0
Qmin=75kN （3）空载时临界平衡状态：W=0
Q
6m
12m
P W A 2m 2m B NA NB
起重机有绕A点向左产生翻倒的倾势。 补充方程：NB=0 ∑mA（Fi）=0，（6-2）Qmax-2P=0
Qmax=350kN （4）75kN ≤Q≤350kN
简化中心：O点称为简化中心。 主矢 R′：力系中各力的矢量和；和简化中心的位 置 无关。 主 矩 MO：平面力系中各力对于简化中心的矩的代数和 称为该力系对简化中心的主矩，其一般随简化中心的位 置的改变而变化。 结 论：平面任意力系向作用面任一点简化后，一般 得到一个力和一个力偶。这个力的力矢量等于力系中各 力的矢量和，即力系的主矢；力偶的矩等于各力对简化 中心之矩的代数和，即力系对简化中心的主矩。
∑mA（F i）=0 ∑mB（Fi）=0 ∑mC（Fi）=0
（4-11）
限制条件：A、B、C三点不共线。
Y
R´≠0
B C
A X
若不满足限制条件，不能保证为 平衡力系，方程组线性相关。
[例4-3] 图示刚架AB受均匀分布的风荷载的作用，单位长度 上承受的风压为q（N/m），给定q和刚架的尺寸，求支座A 和B 约束反力。 y
公式： （1）主矢量R′：R′=F1+F2+…+Fn =∑Fi R′大小： R′=√(R’x)2+(R’y)2 = √（∑X）2+（∑Y）2
(4-4)
R′方向: cosα = —————
Rˊx
Rˊ Rˊy cosβ = ————— Rˊ
(4-5)
(2)主矩Mo: Mo=m1+m2+…+mn =∑mi=∑Mo（Fi） (4-2)
a
2Pa+2aNAcos30°- aNAsin30°=0
B
四、平面平行力系（平面任意力系的一种特殊情况）
q
合力Q=ql
合力Q=ql/2 q
L/2
L/2
2L/3
L/3
均布荷载
三角形分布荷载
平面平行力系平衡方程（Y轴为平行轴）： （1）一矩式：∑Y=0， ∑Mo（F）=0
（4-12）
（2）二矩式：∑MA（F）=0 ，∑MB（F）=0 （4-13） 限制条件：A、B连线不与Y轴平行。
作业：4-1，4-2，4-3（a），4-5，4-6 （a），4-7，4-10，4-12，4-15，4-17， 4-19，4-23
[例4-7]塔式起重机如图所示。机架自重P=700kN，作用线通过塔 架轴线。最大起重量W=200kN，最大吊臂长为12m，平衡块重 为Q，它到塔架轴线的距离为6m。为保证起重机在满载和空载时 都不翻倒，试求平衡块重量Q应取值的范围。 解（1）取整体为研究对象，作受力图如图； （2）满载时临界平衡状态：起重机有绕B点向右翻倒的倾势。 补充方程：NA=0 ∑mB（Fi）=0
Y F1 A C B F2 mn F1´ m1 F2 ´
ˋˊ
MO

R´

O
m2 mi
O
X
Fn
Fi 将刚体上的所有 力平移至指定点
Fn ´
Fi
O:简化中心
F1´=F1 F2´=F2 Fi´=Fi Fn´=Fn
， mi= mi（Fi）， i=1，2， ，n ， R´=F1´+F2´+F3´++ Fn´=∑Fi ， ， MO=∑mO（Fi）