金融衍生品定价理论1陶正如1，陶夏新1，21中国地震局工程力学研究所，哈尔滨（150080）2哈尔滨工业大学，哈尔滨（150080）E-mail ：taozhengru@摘 要：金融衍生品有利于规避金融市场风险，而衍生品是否能充分发挥作用则取决于其价格是否合理。

本文总结了金融衍生品定价理论的发展，介绍了几种比较具有代表性的定价模型，并进行了简单的评述。

关键词：金融衍生品，定价模型，随机过程1. 引言真正的现代金融衍生品始于20世纪60年代末到70年代初，浮动汇率代替当时维系全球的固定汇率制－布雷顿森林体系成为世界各国新兴的汇率制度，西方经济发达国家各类金融机构以自由竞争和金融自由化为基调进行金融创新[1,2]。

随着金融市场在全球范围的快速扩张，国际贸易与金融商品交易的风险日益增加，迫切需要规避市场风险、提高交易效率，金融衍生产品作为新兴的风险管理手段应运而生。

金融衍生品的价格衍生自标的资产（商品价格、利率、汇率和股票价格或股价指数等）的价格，根据两者间的关系，可以把衍生品分为两大类[3]：线性衍生品和非线性衍生品。

前者主要包括远期、期货和互换合约，其价值与标的资产价值呈线性关系，定价比较容易。

后者主要包括期权，以及一些更为复杂的结构化衍生证券和奇异衍生证券，它们的价值与标的资产价值之间呈现出复杂的非线性关系。

在所有的衍生品定价中，期权定价的研究最为广泛，因为与其它衍生品相比，期权易于定价；许多衍生品可表示为若干期权的组合形式；各种衍生品的定价原理相同，可以通过期权定价方法推导出一般衍生品的定价模型[4]。

2. 20世纪90年代前的金融衍生品定价模型1900年，法国数学家Louis Bachelier 在《投机理论》中提出了最早的期权理论模型，奠定了现代期权定价理论的基础，这标志着研究连续时间随机过程的数学和连续时间衍生证券定价的经济学两门分支学科的诞生[5-14]。

Bachelier 的模型第一次给予布朗运动严格的数学描述，假设股价变化满足标准布朗运动、没有漂移、每单位时间方差为σ2，则到期日期权的期望价值是：()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=t X S t t X S XN t X S SN t S C σϕσσσ, （1） 其中，C (S , t )为t 时刻股票价格为S 时的期权价值；S 为股票价格；X 为期权的执行价格；t 是距到期日的时间，()⋅N 为标准正态分布累积函数；()⋅ϕ为标准正态分布密度函数。

巴氏模型比较适用于短期买权的定价，但其假设股价服从标准布朗运动，则股价可能为负，这与股票市场实际不符。

另外，模型忽视了资金的时间价值为正的客观事实，期权与股票的不同风险特征和投资者的风险厌恶等问题使其在实际应用中受到限制[6,8,9]。

但其仍具有 1本课题得到国家自然科学基金（项目编号：70603025），地震学联合基金（项目编号：606027）， 黑龙江省自然科学基金（项目编号：G2005-13）的资助。

重要意义，首次引入随机过程描述股价波动，给出了第一个描述期权价格运动的数学模型，把数学方法带进了金融经济学，为期权定价的研究奠定了数学基础。

随后，各种经验公式或计量定价模型纷纷面世，都因缺乏合适的数学工具而存在各种各样的缺陷，难以获得突破性进展。

20世纪40年代至50年代初，Kiyoshi Ito 发展了巴氏理论，使其成为金融学中重要的数学工具，即随机计算。

而一般认为，金融学从一门描述性的科学向分析性的科学转变始于H. Markowitz （1952）的开创性工作[13-16]。

50年代后期和整个60年代，Markowitz 、Sprenkle 、Modigliani 、Miller 、Sharpe 、Lintner 、Boness 、Fama 和Samanelson 等作了大量的开拓性工作[7,14,17]。

C. M. Sprenkle （1961）假设股价服从均值和方差为常数的对数正态分布，该分布允许股价有正向漂移[2,7]，部分消除了Bachelier 公式的缺陷。

买权价值公式表示为：()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ=t t X S X t t X S Se t S C t σσαπσσαα2221ln 121ln , （2） 其中，参数π是风险市场“价格杠杆”的调整因子；α是股票预期收益率。

模型直接排除了证券具有非正价格的可能性。

如果允许漂移存在随机游走，就产生了正的利率和风险厌恶。

模型中，π和α是主观变量，运用上受到限制，且模型没有考虑资金的时间价值。

Boness （1964）在《股票期权价值理论的要素》中，假设股票收益服从对数正态分布[2,18]。

由于认识到风险态度对投资者的影响，模型中还假设投资者对风险的态度无差异，即为风险中性的。

在此假设下，利用股票的期望收益率α来贴现最终期权的期望值，其价格公式为：()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ=−t t X S X e t t X S S t S C t σσασσαα2221ln 21ln , （3） 由于模型中考虑了货币的时间价值，消除了Sprenkle 模型的缺陷，但模型同样未考虑股票和期权的风险水平不同，对这两种不同的证券采用了同一期望收益率，导致结果不太合理。

William Sharpe （1964）和J. Lintner （1965）以均值－方差模型为基础，通过对证券市场价格机制的深入研究，建立了股票（可以包括其它任何金融资产）的均衡定价模型，先后得出有关资本市场均衡的相同结论，即著名的资本资产定价模型（Capital Assets Pricing Model, CAPM ）[14,15]。

传统的CAPM 可以表示为[19]：[][]{}r R E r R E M i i −+=β （4） 其中，r 为无风险收益率；[]2,cov M M i i R R σβ=为资产i 的β。

CAPM 的严格的假定条件给经验验证带来了许多障碍，即使在规模最大、制度最完善、效率最高的美国证券市场中，证券的风险－收益关系也不可能与CAPM 结论完全吻合[15]。

研究表明，β对收益率，特别是普通股票组合的收益率有合理的解释作用[15]，但市场的不完全性己经逐渐被认识，为了解决市场中的“缺陷”，如存在交易成本、税收和卖空限制等对股票或投资组合价格的影响，CAPM 需要进一步改进。

60年代另一具有重要影响的理论是由P. A. Samanelson （1965）和Eugene Fama （1965）提出、Fama （1970）进行系统总结的有效市场假说[14]。

Samanelson （1965）认识到由于风险的不同，期权和股票的期望收益应该是不同的。

假定股价遵循带有正成长率的几何布朗运动，因而允许有正的利率和风险收益[2,7,9,12,18]。

对应于股票的期望收益率，期权的预期收益率是更高的常数β，价值公式为：()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛Φ=−−t t X S X e t t X S Se t S C t t σσασσαββα2221ln 21ln , （5） 显然，Boness 模型是Samanelson 模型的特例。

Samanelson 模型仍含有α和β两个主观变量，无法接受直接的实证检验。

但该模型推动了期权定价理论的发展，构成了60年代以来证券理论研究的基石，为后来的Black-Scholes 模型的开发奠定了基础[14]。

事实上，期权定价公式、套利定价理论等现代证券投资理论都是以此为前提条件的，随后便出现了大量相关的实证研究。

CAPM 和有效市场假说在解释和预测现实经济问题时，有时不能满足需求，例如，已经出现的交易周的日效应、星期五-13号效应和投机泡沫等[20]。

Kassouf （1969）提出了关于买权价格的计量经济模型[2,7,11]：∞<≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=r X S X V r r c 1,111 （6）它限定了买权的价格范围为max [S -X ,0]。

60年代末和70年代初，金融数学模型变得日益复杂，内容涉及到定价和最优决策的短时性和不确定因素等。

动态组合理论、跨时资本资产定价和衍生证券定价新模型均应用了随机微分和随机积分等式、随机动态规划及偏微分方程[7-9]。

Samuelson 和Merton （1969）将期权价格视为股价的函数，认为贴现率依赖于投资者所持有股票和期权的数量，并未认识到影响贴现率的期权或股票风险都是系统风险，是无法分散的[4,18]。

这使最终导出的期权定价公式仍需依赖于特定投资者的效用函数。

70年代前的期权定价公式不同程度地依赖于未来股价的概率分布和投资者的风险偏好，而这些是无法观测或精确估计的，因此，这些模型在实际应用中受到了限制。

1973年， Fischer Black 和Myron Scholes 在Journal of political economy 上发表了论文“The pricing of options and corporate liabilities ”，同年，Robert Merton 在Bell Journal of Economics and management science 上发表了另一篇关于期权定价的论文“Theory of rational option pricing ”。

这两篇文章为非线性金融衍生工具的合理定价奠定了基础，是期权定价理论研究中的开创性成果，标志着定量经济理论和金融市场结合的开始[2,6,12,15,16,21,23]。

此后，期权定价理论及其应用成为现代金融理论领域最活跃的分支之一，并得到了迅速发展。

Black 和Scholes 建立的期权定价模型，即著名的B-S 模型。

使用B-S 模型，一方面可以通过锁定买入价格，消除价格上涨的风险，实现货币购买力的保值；另一方面，可以通过锁定卖出价格，消除价格下跌的风险，实现资产的保值[1]。

B-S 模型考虑了影响期权定价的多种因素，其中关键在于估计标的资产（股票）未来价格的波动性，避免了对未来股价概率分布和投资风险偏好的依赖，这主要得益于对股票买权可以规避股票投资风险的认识[4]。

通过一种投资策略，买入股票的同时卖出一定份额的股票（看涨）期权，构成一个投资组合。

根据资本资产定价模型，在市场完全均衡的条件下，这种投资组合的收益等于短期利率。