第2讲数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某种情况下还需要考虑对称性。
典型问题兴趣篇1．在图2-1中的3个空白○内填入3个不同的自然数，使得三角形每条边上的3个数之和都等于I1。
答案：解析：在数阵图问题中，一般要从已知条件最多的部分人手分析，如图1所示，可发现左边的线上已知两个数，从这里人手就可以求出这条线上的第三个数，依次类推，可得图2中○内的数，进而得题目答案．2．请分别将1、2、4、6这4个数填在图2-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数之和都等于15。
答案：解析：先看上面的圆圈，4个数的和是15，其中有两个数是5和7，所以剩下两个数的和是15-5-7=3．可填的数字是1、2、4，6，所以这两个数只能是1和2．同理，得左边圆圈剩下两个数的和是15-5-3=7，所以这两个数只能是1和6．因为两个圆圈共有1，所以必须把1填在中间，剩下4填在右边圆圈里，正好满足题意。
3．如图2-3所示，请在3个空白○内填入3个数，使得每条直线上3个数之和都相等。
答案：解析：为叙述方便，将空白圆圈标上字母，如图所示：比较图中两条粗直线，它们共有A.由于两条直线的和相同，所以除了A之外，剩下的数求和也得相同，即7+B=9+8=17，由此可得B=10．于是公共和为8+10+3=21．利用公共和即可填出整个数阵图．4．把1～8这8个数分别填入图2-4中的8个方格内，使得各列上2个数之和都相等，各行4个数之和也相等。
答案：不唯一，例如：解析：1+2+3+4+5+6+7+8=36，由36÷4=9，得每列两个数之和是9，由36÷2=18，得每行四个数之和是18.先把9写成两个数的和，只能是1+8=2+7=3+6=4+5，这恰好是1～8．正好是(1、8)，(2、7)，(3、6)，(4、5)，共4组．把这4组数依次填入表中，如图1所示．但此时行和不等于18，则适当调整一下上下两个数的顺序，就可以凑出行和18了，如图2所示．5．如图2-5，在这只“毛毛虫”身体上的7个小O中分别填入1～7这7个数，使得3个大圆上的数之和相等。
答案：不唯一，例如：解析：因1+2+3+4+5+6+7=28，即所有数的和是28.又上下2个大粗圆的和正好等于所有数的和，则公共和一28÷2—14.将空白圆圈都标上字母，如图1所示．①若G=7，则E+F=C+D=A+B=7，把7分成两个数相加，只能是1+6=2+5=3+4=7；如图2所示，就是一种正确昀填法．②若G=6，则C+D=6，E+F=A+B=8，把8分成两个数相加，只能是1+7=3+5=8，所以C、D只能是2和4；如图3所示，就是一种正确的填法．③若G=5，则C+D=5，E+F=A+B=9，把9分成两个数相加，只能是2+7=3+6=9，所以C、D只能是1和4；如图4所示，就是一种正确的填法．④若G=4，则C+D=4 E+F=A+B=10，把10分成两个数相加，只能是3+7=4+6=10，但与G=4矛盾，舍去．⑤若G=3，则C+D=3, E+F=A+B=11，把11分成两个数相加，只能是4+7=5+6=11，所以C、D只能是1和2；如图5所示，就是一种正确的填法．6．在如图2-6所示的3×3方格表内填人1～3这3个数各3次，使得每行每列以及，两条对角线上的3个数之和都相等于9。
答案：答案不唯一，例如：解析：表格中3行9个数的总和是(1+2+3)×3=18，所以每行3个数字之和等于18÷3=6，即每行每列以及两条对角线上的3个数字之和都等于6．从1、2、3中选3个数，和等于6，只能是1+2+3=6或2+2+2=6．①先满足每行每列都有一个1、2、3，可以第一行填1、2、3，第二行填2、3、1，第三行填3、1、2．如图1所示．但其中一条对角线不合题意，这说明对角线不太好凑，所以还是先凑对角线．②对角线的和也是6，所以也只能是1+2+3=6或2+2+2=6这2种情形，通过尝试不难发现，两条对角线不可能都是1、2、3，因此只能是1、2、3与2、2、2，如图2所示，剩下4个数就很显然了，填出之后即可得答案．7．将1～6这6个数填人图2-7中的6个O内，使“大”字三笔上的各数之和都等。
答案：答案不唯一，例如解析：在计算3笔划上各数的总和时，中心圆算了3次，其他圆各算1次．因此3倍的公共和等于所有数的和加上中心圆的2倍．不妨设中心圆为A，则上述关系写成算式就是3×公共和一所有数的和+2×A。
又所有数的和为1+2+…+6=21，公共和=9，所以A=3．尝试一下就可以得到答案．8．把1～6这6个数分别填人图2-8中的6个O内，使得每个正方形4个顶点的数之和都等于13。
答案:答案不唯一，例如：解析：6个数的总和是1+2+3+4+5+6=21．由题意，左边正方形4个顶点的数之和是13，因此最右边2个数的和是21-13=8．同理，最左边2个数的和也是8，所以中间2个数的和是21-8-8=5．8要表示成1～6中两数之和只有2种办法：2+6和3+5.可以把2、6填在左边，3、5填在右边，剩下1和4的和恰好是5，填在中间即可如答案所示．也可根据公有关系，先求中间的2个数，同样能得到答案．9．把1～6这6个数分别填入图2-9中的6个方格内，使得横行3个数之和与竖列4个数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？答案：最大13；最小11解析：如图1所示，图中有一个特别的位置，就是行与列交叉处的公共方格A，如果把行和与列和相加，这个方格会算到2次，而其他方格只算到1次，换句话说，就是2倍的公共和恰好等于所有数的和再加上A写成算式就是2×公共和一所有数的和+A所有数的和是固定的，因此要让横行、竖列的和最大或最小，A就应该尽量大或尽量小．所有数的和=1+2+3+4+5+6=21．①A最小填1，2倍的公共和是21+1=22，公共和是22÷2=11，具体填法如图2所示．②A最大填6，2倍的公共和是21+6=27，但27除以2不是整数，因此A 最大只能填5，公共和是26÷2=13，具体填法如图3所示，10.把1～7这7个数分别填入图2- 10中各○内，使每条直线上3个○内所填数之和都相等，如果中心○内填的数相等，那么就视为同一种填法。
请写出所有可能的填法。
答案：解析：在计算3条直线的总和时，中心圆算了3次，其他圆各算1次．因此3条直线的总和，恰好等于所有数的总和加上中心圆的2倍．设中心圆为A，则上述关系写成算式是：3×直线和=所有数的和+2×A.又所有数的和为1+2+…+7=28.①如果中心圆填1，则直线和的3倍等于28+1×2=30，每条直线的和为30÷3=10，尝试一下就可以填出，如答案图1所示．②如果中心圆填2，则直线帮的3倍等于28+2×2=32，此时求不出直线和，因此这种情况是不可能的．③依次验证中心圆填3、4、5、6、7的情况，可以知道当中心圆填3、5、6时求不出直线和，当中心圆填4、7时可以填出，如答案图2、图3所示．所以一共有3种填法，拓展篇1．将1～9这9个数分别填入图2 -11中的○内，使得图中所有三角形（共7个）的3个顶点上的数之和都等于15。
现在已经填好了其中3个，请你在图中填出剩下的数。
答案：解析：利用中心三角形，可先填出4．接着再借助其他三角形，依次填出每个圆圈内的数字，如图所示：2．在图2 -12中的8个○内分别填入8个不同的自然数，使得正方形每条边上3个数的和相等。
现在已经填好了5个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。
答案：21解析：如图所示，将三个空白○分别用字母A、B和C来表示．比较上面和右边的两个和，这两条边上3个数的和相等，而B是它们的公共部分，所以9+A=1+16=17，则A=8．此时最下面一行3个数都已知了，这3个数之和是7+6+8=21．即每条边的和都是21.因此，C为21-1-7=13，B为21-1-16=4．如答案所示．3．把1～12这12个数分别填入图2-13中的○内，使图中3个小三角形3条边上的6个数之和相等。
答案：答案不唯一，例如：解析：在对每个小三角形求和的时候，都是一条边一条边地加的，而每条边上都有2个圆，这样一来这2个圆就总是同时被计算到．于是把位于同一边的2个圆配成对，把这12个圆配成6对，如图1所示．想要3个小三角形的和相同，只要这6对圆的和相同即可．方法一：可以利用等差数列的特点进行首尾搭配．如图2所示：方法二：因1+2+…+12=(1+12)×12÷2=78，要等分成6组，则每组的和是78÷6=13.把13分成两个数相加，自然是：1+12=2+11=3+10=4+9=5+8=6+7=13.按上述分组配对的方法，将1～12这12个数一对对地填入图中即可得到答案。
4．图2-14是由4个交叠的长方形组成的，在交点处有8个○。
请把1～8这8个数分别填入这些○内，使得每个长方形上的4个数之和都相等。
答案：答案不唯一例如：解析：把图1所示的2个粗线长方形相加，正好就是这8个圆的总和，所以公共和的2倍就是1+2+3+…+8=36，那么公共和就等于18.图1中每个长方形求和时都是把4个圆相加，在加的时候有一些圆总是同时被计算到．比如图2中两个粗线圆，它们既属于上面的长方形，也属于左侧的长方形，在计算这2个长方形的时候，它们都被计算到了．再利用图形的对称性，不难看出其他圆也都有类似约特点．由此可见，本题的8个圆圈其实都是成双成对的。
根据它们在求和对，总是被同时计算到，将其分为4组，如图3所示，只要这4组圆的和都相同，那么每个长方形的和也就都相同了．根据等差数列的规律，将1～8前后搭配即可配成和为9的4组，如图4所示：依照上述配对方法将1～8配对填入，即得答案．5．在图2 - 15中的方格内填入三个○，两个2，两个3，两个4，使得每个箭头所指的列中各方格内的数之和都是6，并且使得从上到下第二行与第三行的数之和郝是7。
答案：答案不唯一，例如：解析：第一种情形：O在上，2在下，如答案图1所示，此时第二行一定填3和4，第三行自然就是3和2．第二种情形：2在上，0在下，如答案图2所示．此时第二行还缺5，一定填2和3，而第三行自然就填4和3．6．请在图2 - 16的每个小○内填人1或2，使得每个大圆圈上4个数之和两两不同。
那么所填数的总和是多少？答案：9解析：如图l，先看位于下方的左右2个大圆，它们共用了2小圆（图中粗线所示）．由于是公共的小圆，所以它们怎么填对这2个大圆来说都一样，因此，想要大圆互不相同就得看剩下的4个小圆，这4个小圆中2个属于左侧大圆，2个属于右侧的大圆，只要前1对小圆的和不等于后1对小圆的和，那么2个大圆的和就互不相同了，由图1不难发现，原来小圆是分组配对的，而且每组恰有2个．因此，要想3个大圆的和两两不同，只需要3组小圆的和两两不同即可．由于只能填1或2，所以这三对圆的和只能是2=1+1,3=1+2,4=2+2．如图2所示，就是一种正确填法．当然还可以有其它填法。