1. (15分)求下列极限（每小题5分，共15分）（1） nnn nn n n ln )ln 2ln (lim +-∞→ 解：321ln ln ln ln )ln 21()ln 1(lim )ln 21ln 1(lim )ln 2ln (lim --∞→∞→∞→==+-=+-=+-e e e nn n n n n n n n n n n n n nn n n nn n n n ( 2）23202arctan )1(sin lim 22t e dy y dx t t txt --→⎰⎰+π； 解：232223202arctan )1(sin lim arctan )1(sin lim222tedxdy y tedyy dx t D t t t tx t -=--→-→⎰⎰⎰⎰++ππ7sin lim22sin lim27202320020πππ-=-=-=⎰⎰⎰++→→t dyy y t t dxy dy t t tyt .（3）y x x ye RD xR d d arctan lim ⎰⎰-+∞→，其中R D 是由12,0,-===x Ry y R x所围成.解：由于函数xye x arctan-在R D 上连续，由积分中值定理得 ,arctan 4d d arctan d d arctan ξηξηξξ---==⎰⎰⎰⎰e R y x e y x x y e RRD D x 其中R D ∈),(ηξ，即10,2≤≤≤≤ηξR R ，于是当+∞→R 时，0arctan 4d d arctan |d d arctan |2→≤=---⎰⎰⎰⎰ξηξηξR D D x e R y x e y x x y e RR， 所以0d d arctan lim =⎰⎰-+∞→y x xye RD xR .厦门大学第十届景润杯数学竞赛试卷＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿年级＿＿＿＿＿＿专业竞赛时间 2013.06.22 （经管卷）2. (10分) 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且)1()0(2f f =，试证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得)()()1(ξξξf f ='+。
解：构造辅助函数x x f x +=Φ1)()(，显然)(x Φ在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且 ())0(01)0(0f f =+=Φ, ())0(2)0(211)1(1f f f ==+=Φ，因此)(x Φ在]1,0[上满足罗尔定理的条件，则由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ使得0)(=Φ'ξ,即0)1()()()1()(2=+-'+=Φ'ξξξξξf f ，因0)1(2≠+ξ，故有)()()1(ξξξf f ='+. 证毕.3、(10分) 计算定积分 3222||3d x x x -+-⎰.解：323222222|(2||3)|d |(2||3)|d |(2||3)|d x x x x x x x x x --+-=+-++-⎰⎰⎰2322022|(23)|d |(23)|d x x x x x x =+-++-⎰⎰12320122|(3)(1)|d 2|(3)(1)|d (23)d x x x x x x x x x =+-++-++-⎰⎰⎰12320122(3)(1)d 2(3)(1)d (23)d x x x x x x x x x =-+-++-++-⎰⎰⎰493=. 4．(10分) 设x x g x x f αα+=+=1)(,)1()(，),1(+∞-∈x ,其中α为任意实数,试就α的不同取值范围，讨论)()(x g x f 和的大小关系. 解法1：对于函数α)1()(x x f +=，1)1()(-+='ααx x f ，2)1)(1()(-+-=''αααx x f(I)当,0<α或1>α时，0)(>''x f ，)(x f 是严格的下凸函数，而x x g α+=1)(是曲线)(x f y =在点)1,0(处的切线，而严格下凸函数的切线总是位于曲线的下方。
因此有)()(x g x f ≥，即x x αα+≥+1)1(. (II) 当10<<α时，0)(<''x f ，)(x f 是严格的上凸函数，再由上 凸函数的性质（切线总在曲线的上方），即有)()(x g x f ≤，所以x x αα+≤+1)1(.不论何种情况，当且仅当0=x 时，)()(x g x f ≡。
解法2：设辅助函数),1(,1)1()(+∞-∈--+=x x x x F αα 显然]1)1[()(1-+='-ααx x F ，且0)0(=F (i)若0<α或1>α时，当)01(，-∈x 时，0)0()()(0)(=≥↓⇒⇒<'F x F x F x F ; 当)0(∞+∈，x 时，0)0()()(0)(=≥↑⇒⇒>'F x F x F x F , 所以 0)(≥x F ，即x x αα+≥+1)1(. (ii) 若10<<α时，当)01(，-∈x 时，0)0()()(0)(=≤↑⇒⇒>'F x F x F x F ; 当)0(∞+∈，x 时，0)0()()(0)(=≤↓⇒⇒<'F x F x F x F , 所以当10<≤α时，有0)(≤x F ，即x x αα+≤+1)1(. 当且仅当0=x 时，等式成立即)()(x g x f ≡。
5、(10分) 求y x y xy x y x f +-+-=2),(22在全平面上的最大值和最小值。
解法1：令,012022⎩⎨⎧=+-==--=x y f y x f y x 解得唯一的驻点)01(，. 2)0,1(,1)0,1(,02)01(==-==>==yy xy xx f C f B f A ，02>-=∆B AC ,故)01(，是极小值点，极小值为1)01(-=，f . 又有)sin cos 2()cos sin 1()sin ,cos (2θθρθθρθρθρ---=f)(321)sin cos 2()2sin 211(22+∞→+∞→-≥---=ρρρθθρθρ,可见),(y x f 在全平面上无最大值.又知存在0ρ，当0ρρ≥时，1-≥f ,于是在0222ρ≥+y x 内, f 不可能取最小值，即f 的全局最小值只能在0222ρ≤+y x 内取得，又f 在内无不可导点，于是1)0,1(),(min min 2222-===≤+f y x f f y x R ρ. 解法2：先固定x ，求),(min y x f Ry ∈.将),(y x f 改写成]1)1(43[)21(),(22--+-+=x x y y x f 于是当21-=x y 时，1)1(43),(min 2--=∈x y x f Ry ，从而 1]1)1(43[min ),(min min ),(min 2),(2-=--==∈∈∈∈x y x f y x f R x R y R x Ry x ，显然y y y f +=2),0(无最大值，因此),(y x f 也无最大值。
6．(10分) 设锥面2244y x z ++=∑：,平面222:=++∏z y x ，求以点P 为中心与∏相切的球面方程与切点坐标,其中P 是∑上到∏距离最小的点。
解：∑上任一点),,(z y x 到∏的距离为|222|31221|222|),,(322-++=++-++=z y x z y x z y x d 作拉格朗日函数)2()44()222(),,,(2222≥-+++-++=z z y x z y x z y x L λλ则令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-++=∆--++=∆+-++=∆+-++=04402)222(408)222(402)222(2222z y x L z z y x L y z y x L x z y x L z y x λλλλ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=--++=+-++=+-++04402)222(408)222(402)222(2222z y x z z y x y z y x x z y x λλλ，解得z y z x 41,21-=-=，代入上述最后一式得22=z , 所以得唯一的极值点)22,22,2(-，因此)22,22,2(-=P ，(因为最小距离是客观存在的，极值点唯一）,最小距离为)12(32)22,22,2(-=-d .由此可得，以点P 为中心与∏相切的球面方程为)223(94)22()22()2(222-=-++++z y x下面计算切点坐标。
过点P 作∏的垂线l ，则l 的方程为22222212-=+=+z y x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=tz t y tx 2222222，将其代入∏的方程得 2)222(2)222(2)2(=+++-++-t t t ，得)21(92-=t ，代入上式得切点坐标])272(92),2188(181),2112(91[---.7. (10分) 试用二重积分计算由抛物线)0()(2>=+a ax y x 与x 轴所围成的闭区域的面积。
解法1：设所求闭区域的面积为S ，记此闭区域为D ，则⎰⎰=Dy x S d d ，如图所示：D 的边界由)0()(2>=+a ax y x 和x 轴所围成 为求积分S ，作积分变换。
令⎩⎨⎧==+u x v y x ，即⎩⎨⎧-==u v y ux ， 则 11101),(),(=-=∂∂v u y x ，2061|),(),(|d d 2a du dv dudv dudv v u y x y x S a vav D D D===∂∂==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''其中},0|),({2v u au a v v u D ≤≤≤≤='.解法2：设闭区域D 的边界为L ，则有oA o A L +=，L 的参数方程为:0,,:==⎩⎨⎧-==终起x a x x ax y x x o A ，a x x y x x oA ==⎩⎨⎧==终起,0,0:利用面积的曲线积分公式⎰⎰⎰-+-=-=OA OA L ydx xdy ydx xdy ydx xdy S 212121 dx x ax ax a x ydx xdy a O A )]()12([21210---=-=⎰⎰ 261a =. 8. (15分)（1）假设从银行贷款0Q 元，年利率为p ，协议规定这笔贷款要在n 年内按月等额归还，试问每月应偿还多少？（2）某先生从银行贷款35万买房，计划10年内按月等额还贷还清贷款，如果贷款的年利率为6%，问这位先生每月要还多少元钱？ 解：（1）假设每月偿还a 元，贷款的月利率12pr = 第一个月应付的利息为 00112rQ pQ y =⋅= 第二个月应付的利息为 ar y r r y a Q y -+=+-=1102)1()( 第三个月应付的利息为 ar y r r y y a Q y -+=++-=21203)1()2(ar y r y n n n -+=++)1(11个月应付的利息为：，可推出第 这是一个一阶非齐次线性差分方程求出它的通解：a r c y n n ++=)1(.将01rQ y =代入，得rarQ c +-=10， 所以第n 个月应付的利息为])1(1[)1()1)((11010---+-++=++-=n n n n r a r rQ a r a rQ y n 年的利息总和为∑∑∑=-=-=+-++==nk n nk n nk k r a na r rQ y Y 121112110121)1(12)1(rr a na r r rQ n n 1)1(121)1(12120-+-+-+=]1)1[()1(12121200-+-++-=n nr rar Q Q na na 12是n 年的总还款数，012Q na -为n 年的总利息，所以]1)1[()1(12121212000-+-++-=-n n r rar Q Q na Q na则0]1)1[()1(12120=-+-+n n r r a r Q ，由此解得1)1()1(12120-++=n nr r rQ a .即每月偿还1)1()1(12120-++=nnr r rQ a 元，n 年恰能还清贷款。