2016年景润杯数学竞赛试题(专业组)
伪装者
2017年6月9日
注:不知为何上传到文库后在文库显示会乱码，不过下载下来看就不会了。

高等代数
1.(10分)设φ为数域F 上n 维线性空间V 的线性变换,满足φ2=φ.求证:V =Kerφ⊕Imφ.其中,Kerφ={α∈V |φ(α)=0},Imφ={φ(α)|α∈V }.
2.(10分)设C 上n 阶方阵A 的特征值全部为1.求证:对于任意自然数m ,A 与A m 相似.
3.(10分)设f (x )=a 2016x 2016+a 2015x 2015+···+a 1x +a 0为整系数多项式.假设5整除a 0,a 1,...,a 29,但5不整除a 30,52不整除a 0.证明:f (x )在有理数域上一定有次数大于等于30的不可约因式.
4.(10分)设A,B 均为n 阶实对称矩阵,且它们的特征值的绝对值均≥1.设λ为方阵AB 的实特征值,证明:λ的绝对值≥1.
数学分析
1.(15分)假设S n =1+1
+1
+···+1.求证:(a)对于n >1,成立n (n +1)1n <n +S n ;
1
(b)对于n >2,成立(n −1)n −1/(n −1)<n −S n .
2.(15分)求证:∫10cos x √1−x 2d x >∫10sin x √1−x 2d x .
3.(10分)假设R (u,v )为二元有理函数,满足R (−sin x,cos x )=−R (sin x,cos x ).证明:可以使用变换t =cos x 将不定积分I =∫R (sin x,cos x )d x 转化为I =∫R ∗(t )d t .其中R ∗(t )为一元有理函数.
4.(10分)设函数f (x )在区间(−∞,+∞)上二阶可导,满足lim x →+∞
f (x )=1,以及|f ′′
(x )|≤2,∀x ∈[0,+∞).求证:lim x →+∞f ′
(x )=0.5.(10分)设函数f (x )在区间(−∞,+∞)上有任意阶导数,满足n →∞
f (n )(0)=1,且对任意的正整数n ,以及任意的x ∈(−∞,+∞),有
f (n )(x )+f (n −1)(x ) ≤|x |n 3/2
.求上极限函数lim n →∞
f (n )(x ).2。