4. 3 小波变换
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傅立叶变换的局限性
只能确定信号中有哪些频率，但不能确定此 频率何时发生。
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傅立叶变换的局限性
在实际中,时变信号是常见的，如语音信号、地 震信号、雷达回波等。 在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时 刻的频率成份 在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应 着相同的频谱的例子。
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Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到数 学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、Hardy 空间原子分解的深入研究已为小波变换的诞生作 了理论上的准备。
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后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。 1986年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正 的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波 基的统一方法－－多尺度分析。
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(1). Gabor变换的定义 在Gabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短 时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗 来实现的。整个时域的覆盖是由参数τ的平移达 到的。
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G f (, ) f (t)g (t )e jt dt （1）
其中 g(t )e jt 是积分核。该变换在 τ 点附近
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为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适 当放宽。 对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽 量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。 总之，对多尺度信号希望时－频窗口有自适应性，高 频情况下，频窗大，时窗小，低频情况下，频窗小， 时窗大。
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但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没 有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变 过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现 高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也 就限制了它的应用。
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4.3.3 连续小波变换 1 .小波
形如下式的函数称之为小波。
a,b (t)
1 a
t
a
b
（5）
其中a为尺度参数，b是定位参数。
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若a>1，函数 a,b (t) 具有伸展作用，
若0＜a<1，函数 a,b (t) 具有收缩作用。而其
Fourier变换 () 则恰好相反。伸缩参数a对 小波 a,b (t) 的影响见下图。小波
a,b (t) 随伸缩参数a平移参数b而变化如下图所
示。
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a:a<1; b: a=1; c: a>1。
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a,b (t) 2,15 (t)
0.5,10 (t)
小波 ab (t) 的波形随参数 a, b 变化的情形
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图中小波函数为 (t) tet2。当a=2, b=15
时，
的波形
2
1
et2 / 4a a
（2）
式中a决定了窗口的宽度，g a (t) 的Fourier变换
用 Ga () 表示。
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显然信号f(t)的Gabor变换按窗口宽度分解了 f(t)的频谱 F(ω) 。提取出它的局部信息。
当 τ 在整个时间轴上平移时，就给出了
Fourier的完整变换。
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相应的重构公式为：
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3.4.2 小波变换
小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地 球物理学家J.Morlet于1984年提出的。他在分析地 震波的时频局部特性时,希望使用在高频处时窗变窄, 低频处频窗变窄的自适应变换。但Fourier变换很难 能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数， 将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为 “Morlet小波基”。
局部测量了频率为ω 的正弦分量的幅度。通常g(t)
选择能量集中在低频处的实偶函数；
8Leabharlann D.Gabor采用高斯(Gauss)函数作窗的函数， 相应的Fourier变换仍旧是Gauss函数，从而保 证窗口Fourier变换在时域和频域内均有局部化 功能。
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令窗口函数为 g a (t) 则有：
ga (t)
f (t) 1
2
Ga ()g(t ) e jtddt
（3）
窗口Fourier变换是能量守恒变换，即:
f (t) 2 dt 1
2
Ga () 2 dd
（4）
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但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没 有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变 过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现 高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也 就限制了它的应用。
a,b (t) 2,15 (t)
(t)从原点向
右移至t=15且波形展宽，a=0.5, b=-10时，
0.5,10 (t) 则是从原点向左平移至t=-10
处且波形收缩。
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随着参数a的减小， a,b (t) 的支撑区也随之变窄，
而
a,b (的)频谱随之向高频端展宽，反之亦然。
这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率
3
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4.3.1 Gabor变换 由于Fourier变换存在着不能同时进行时间－频率 局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。1946年 D.Gabor提出一种加窗的Fourier变换方法，它在非 平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的 信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似 之处。
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换句话说，该变换是用一个窗函数 g(t-τ) 与信号f(t)相乘实现在 τ 附近开窗和平移， 然后施以Fourier变换，这就是Gabor变换也称 短时Fourier变换或加窗Fourier变换。Gabor 变换的定义由下式给出：对于 f(t) ∈L2(R)
增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于
提高时域分辨率，反之亦然。
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小波 (t) 的选择既不是唯一的，也不是任意的。 这里 (t) 是归一化的具有单位能量的解析函数， 它应满足如下几个条件： (1)定义域应是紧支撑的(Compact Support)，换句 话说就是在一个很小的区间之外，函数为零，也就 是函数应有速降特性。
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从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得 一提的是比利时女数学家I.Daubechies的“Ten lectures on Wavelet”一书对小波的普及应用起 了重要的推动作用。
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小波变换的快速算法——Mallat
1986年S.Jafferd、Y.Meyer与从事信号处理的 S.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统 一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造 的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波 基的一般化方法。S.Mallat还提出了小波变换的快 速分解与重构算法，现在称之为Mallat算法。