第一章 直角三角形1、直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴12CD AB =。

例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 .③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。

如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴12BC AB =。

例·在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。

A ．AB=2BCB ．AB=2AC C ．AC 2+AB 2=BC 2D ．AC 2+BC 2=AB 2④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

如图，在Rt ∆ABC 中，∵12BC AB =，∴∠A=30°。

例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。

⑤勾股定理及其逆定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。

求斜边，则c =求直角边，则a =b 例·如图是拉线电线杆的示意图。

已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。

例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。

（2）逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。

分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。

例·在Rt△ABC 中，若，，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。

A ．∠C=90° B．∠B=90° C ．△ABC 是锐角三角形 D ．△ABC 是钝角三角形例·一块木板如右图所示，已知AB =4，BC =3，DC =12，AD =13，，木板的面积为 。

例·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？⑥直角三角形性质与勾股定理运用的常见图形例·如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，梯子的顶端B到地面的距离为24m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于15m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′的长度是多少？例·如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈）2、直角三角形的判定①有两个角互余的三角形是直角三角形②在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

③如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。

例·若一个三角形三边满足ab c b a 2)(22=-+，则这个三角形是 三角形. 例·若∠A ：∠B:∠C=2:3:5,则△ABC 是_________三角形例·已知a,b,c 是三角形的三边长，如果满足2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac=0，则三角形的形状是（ ）A 、底与边不相等的等腰三角形B 、等边三角形C 、钝角三角形D 、直角三角形3、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。

例·如图，在ΔABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 的延长线于点G 。

求证：BF=CG 。

4、角平分线的性质角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB∴PE=PF角平分线判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

例·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距离是________厘米。

例·如图：在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。

求证：点O 在∠A 的平分线上。

例·如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的距离是： 。

例·如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5，点P 是三角形内桑内角平分线的交点，则点P 到AB 的距离是： 。

5。

如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB例·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。

例·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等，且P 到∠MON 两边的距离也相等．第二章 四边形1、多边形内角和公式：n 边形的内角和=(n －2)·180º n 2180n =+︒内角和求边形的方法：任意多边形外角和等于360º四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性。

例·一个多边形的内角和为12600，它是 边形。

例·已知一个多边形的内角和是外角和的5倍，它是 边形。

2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数） 成中心对称的两个图形中，对应点得连线经过对称中心，且被对称中心平分会画与某某图形成中心对称图形会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中心对称图形例·下列几张扑克牌中，中心对称图形的有________张例· 在字母C 、H 、V 、M 、S 中是中心对称图形的是例·下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A: 等边三角形 B : 平行四边形 C: 等腰梯形 D : 矩形例·下列图案是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ）．O NM · ·A B 第2题例·如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和点A1. 画出△ABC关于点1A的中心对称图形.3、三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

如图，在⊿ABC中，∵E是AB的中点，F是AC的中点，∴EF是⊿ABC的中位线∴EF‖BC，12EF BC例·如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为例·已知△ABC三边的长分别为10、12、16，那么这个三角形的三条中位线所围成的三角形的周长等于（）A、 38B、19C、17D、214、特殊四边形的性质与判定平行四边形的性质：边（对边相等且平行）角（对角相等，邻角互补）对角线（对角线互相平分）不是轴对称图形，是中心对称图形平行四边形判定：定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形如图，∵ AB‖CD，AD‖BC，∴四边形ABCD是平行四边形方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，∵ AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形方法2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形如图，∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形方法3 一组对边平行相等的四边形是平行四边形如图，∵ AB‖CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形或∵AD‖BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形如图，∵ OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形例·如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F。

试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．例·如图，已知BE ∥DF ，∠ADF=∠CBE ，AF=CE ，求证：四边形DEBF 是平行四边形．矩形的性质：边（对边相等且平行） 角（四个角都是直角）对角线（对角线互相平分且相等） 是轴对称图形，也是中心对称图形矩形的判定：定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形方法1 有三个角是直角的四边形是矩形方法2 对角线相等的平行四边形是矩形例·如图，△ABC 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的外角平分线CF 于点F ，交∠ACB 内角平分线CE 于E ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论；（2）猜想△ABC 是何形状三角形时，矩形AECF 会是正方形？并证明你的结论。

例·如图16，矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为 。

例·如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC 的长是 ．菱形的性质：边（四条边相等） 角（对角相等，邻角互补）对角线（对角线互相平分且垂直） 是轴对称图形，也是中心对称图形菱形的面积等于两条对角线的长度乘积的一半菱形的判定：定义判定： 一组邻边相等的平行四边形是菱形方法1 四边都相等的四边形是菱形方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形例·已知矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F.求证:四边形AFCE 为菱形A BCD F例·矩形ABCD的对角线相交于O，AB=6，AC=10，则面积为例·菱形的周长为20，一条对角线长为6，则其面积为正主形的性质：边（四条边相等）角（四个角都是直角）对角线（对角线互相平分且垂直相等）是轴对称图形，也是中心对称图形正方形的判定：定义判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形方法1 有一个角是直角的菱形是正方形方法2 有一组邻边相等的矩形是正方形例·正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A: 对角线互相平分 B对角线相等 C:对角线平分一组对角 D:对角线互相垂直例·顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是例·如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( )°°°°例·下列说法错误的是（）A对角线互相垂直平分的四边形是菱形B对角线平分且相等的四边形是矩形C:对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D对角线互相平分的四边形是平行四边形。