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立体几何中垂直的证明


“垂直关系”常见证明方法
(一)直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性:如直角三角形的两条直角边互相垂直等。
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2) 看夹角:两条共(异)面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。
3) 利用直线与平面垂直的性质:
1、掌握直线(平面)与平面平行、垂直的判定及性质定理.. 2、掌握立体几何中垂直与平行的证明方法以及计算问题 课 前 作业完成情况: 检查 与交流 交流与沟通:
第 次课
线面垂直的判定及其性质
●知识要点
1.线面垂直
(1)定义:

如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,则直线 l 与平面 互相垂直,记作 l . l -平面 的垂线, -直线 l 的垂面,它们的唯一公共点 P 叫做垂足.
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面;
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C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线;
D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一直线必平行于这个平面.
B
AB CD, AD BC, H为 BCD的垂心。
求证: AH 平面BCD
D H
C
3、如图, PA 平面ABCD,ABCD是矩形,点M , N分别为AB, PC的中点, 求证: MN AB
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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 4、如图,在多面体 ABCDE 中,AE⊥面 ABC,BD∥ AE,且 AC=AB=BC=BD=2,AE= 1,F 为 CD 中点. (1)求证:EF⊥面 BCD;
如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线垂直于此平面内的所有直线。
a
b a
b
b
α
a
4) 利用平面与平面垂直的性质推论:
如果两个平面互相垂直,在这两个平面内分别作垂直于交线的直线,则这两条直线互相垂
直。
l a b al bl
a b
β b
l
α
a
5) 利用常用结论:
① 如果两条直线互相平行,且其中一条直线垂直于第三条直线,则另一条直线也垂
(2)判定定理:(线线垂直 线面垂直)
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直.

☆ 符号语言:若 l ⊥ m , l ⊥ n , m ∩ n =B, m , n ,则 l ⊥ . (3)性质定理:(线面垂直 线线平行)
垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.二面角

(1)定义:
5、如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD 中, AB AC, PA 平面ABCD ,且 PA AB,点 E 是 PD 的中点。
⑴求证: AC PB ; ⑵求证: PB∥平面AEC ;
6、 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, AB=BC,E 是 PC 的中点.
2.已知 a,b, c 表示直线, M 表示平面,则 a // b 的充分条件是( )
A、 a c且b c B、 a // M且b // M C、 a M且b M D、 a,b与c 所成的角相等
3.在长方体 ABCD A'B'C'D' 中,与平面 B'C'CB 垂直的直线有
_______;
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7、在四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD 证明:AB⊥平面 VAD
V
D A
C B
8、如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是∠ DAB=60°且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD,若 G 为 AD 边的中点,
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2、如图,棱柱 ABC A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C A1B 证明:平面 AB1C 平面 A1BC1 ;
3、已知:如图,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 将 BCD 折起,使点 C 移到点 C1 ,且
C1在平面ABD上的射影O恰好在AB上。
(1)求证:AD BC1
C1
直于第三条直线。
a∥b a c bc
c
a
b
② 如果有一条直线垂直于一个平面,另一条直线平行于此平面,那么这两条直线互
相垂直。
a b ∥
ab
b
a
α
(二)直线与平面垂直的证明 1) 利用某些空间几何体的特性:如长方体侧棱垂直于底面等 2) 看直线与平面所成的角:如果直线与平面所成的角是直角,则这条直线垂直于此平面。 3) 利用直线与平面垂直的判定定理:
5、已知四面体 ABCD中, AB AC, BD CD ,平面 ABC 平面 BCD, E 为棱 BC 的中点。 (1)求证: AE 平面 BCD; (2)求证: AD BC ;
6、S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.
S
C A
B 7
与直线 AA' 垂直的平面有
.
4.在正方体 ABCD A'B'C'D' 中,求直线 A'B和平面 A'B'C'D' 所成的角.
P
题型一、线面垂直的判定与性质
1、已知:如图,P 是棱形 ABCD 所在平面外一点,
且 PA=PC 求证: AC 平面PBD
A B
D C
A
2 、 已 知 , 如 图 , 四 面 体 A-BCD 中 ,
2、如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M、N 分别是 A1B1、AB 的中点.
(1)求证:C1M⊥平面 A1ABB1; (2)求证:A1B⊥AM; (3)求证:平面 AMC1∥ 平面 NB1C;
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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 3、如图,在四棱锥 P ABCD中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证:(1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD
2) 看二面角:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角(即平面角是直角的二面角),
就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
a
a
a
基础练习
1.下列命题是真命题的是
()
A.若一条直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面;
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线垂直于此平面。
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a
b
ab
Alຫໍສະໝຸດ l a l blb
Aa
4) 利用平面与平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
l a
a
a l
l
5) 利用常用结论:
6) 一条直线平行于一个平面的一条垂线,则该直线也垂直于此平面。
a∥b
ab
b a
7) 两个平面平行,一直线垂直于其中一个平
面,则该直线也垂直 ∥
于另一个平面。
a
a
a
(三)平面与平面垂直的证明
1) 利用某些空间几何体的特性:如长方体侧面垂直于底面等
(1)求证:CD⊥AE;(2)求证:PD⊥面 ABE.
∠ABC=60°,PA=
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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图 AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在的平面,C 是圆周上不同于 A、B 的任意一 点,求证:平面 PAC 垂直平面 PBC。
(1)求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB; (3)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD,并证
明你的结论.
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全方位课外辅导体系 Comprehensive Tutoring Operation System 题型三、平行与垂直的综合题 1、已知PA 矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点。 (1)求证:MN CD (2)若PDA=45。,求证:MN 平面PCD.
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全方位教学辅导教案
学生
教学 内容 重点 难点 教学 目标
性 别 男 年 级 高一 总课时: 立体几何中垂直的证明
小时
重点:掌握直线(平面)与平面垂直以及垂直的判定及性质定理. 难点:领悟线(面)面平行和垂直的“转化”的基本思想
(第16题图)
4.如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF= 1 AB,PH 为 PAD 中 AD 边上的高.
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