高中立体几何证明垂直的专题训练
深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法: (1) 通过“平移”。
(2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质。
(3) 利用勾股定理。
(4) 利用三角形全等或三角行相似。
(5) 利用直径所对的圆周角是直角,等等。
(1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,//
1.在四棱锥P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB ⊥平面PBC ,AB ∥CD ,AB=
2
1
DC ,中点为PD E .求证:AE ⊥平面PDC.
分析:取PC 的中点F ,易证AE//BF ,易证
B F ⊥平面PDC
2.如图,四棱锥P -ABCD ABCD ,∠PDA=45°,点E 为棱AB 的中点. 求证:平面PCE ⊥平面PCD ;
分析:取PC 的中点G ,易证EG//AF ,又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD
(第2题图)
3、如图所示,在四棱锥P ABCD -中,
AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点,且
1
2
DF AB =
,PH 为PAD ∆中AD 边上的高。
(1)证明:PH ABCD ⊥平面;
(2)若121PH AD FC ===,,,求三棱锥E BCF -的体积; (3)证明:EF PAB ⊥平面.
分析:要证EF PAB ⊥平面,只要把FE 平移到DG ,也即是取AP 的中点G ,易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB
4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形
,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ,
E 为PC 的中点, P A =AD 。
证明: BE PDC ⊥平面;
分析:取PD 的中点F ,易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC
(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质
5、在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,
PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥;
(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小;
A
C
B
P
6、如图,在三棱锥P ABC -中,⊿PAB 是等边三角形,∠P AC =∠PBC =90 º 证明:AB ⊥PC
因为PAB ∆是等边三角形,90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。
如图,取AB 中点D ,连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC , 所以AB PC ⊥。
(3)利用勾股定理
7、如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形,,1, 2.PA CD PA PD ⊥==
求证:PA ⊥平面ABCD ;
8、如图1,在直角梯形ABCD 中,CD AB //,AD AB ⊥,且12
1
==
=CD AD AB . 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ,然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折,使平面
ADEF 与平面ABCD 垂直,M 为ED 的中点,如图2. (1)求证:AM ∥平面BEC ;
(2)求证:⊥BC 平面BDE ;
_ D
_ C
_ B
_ A
_ P
M A
F
C
D
E
M
E
D
C
B
A
F
C
A
D
B
O
E
9、如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点, 2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== (1)求证:AO ⊥平面BCD ;
(2)求异面直线AB 与CD 所成角的大小;
(1)证明:连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥
在AOC ∆中,由已知可得1, 3.AO CO == 而2,AC =
222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
10、如图,四棱锥S ABCD -中,BC
AB ⊥,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,
2,1AB BC CD SD ====.
(Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;
(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.
解法一:
(I )取AB 中点E ,连结DE ,则四边形BCDE 为
矩形,DE=CB=2,连结SE ,则, 3.SE AB SE ⊥=
又SD=1,故222
ED SE SD =+,
所以DSE ∠为直角。
由,,AB DE AB SE DE
SE E ⊥⊥=,
得AB ⊥平面SDE ,所以AB SD ⊥。
SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。
所以SD ⊥平面SAB 。
(4)利用三角形全等或三角行相似
11.正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心,M为BB1的中点,求证:D1O⊥平面MAC.
分析:法一:取AB的中点E,连A1E,OE,易证△AB M≌A1AE,
于是A M⊥A1E,又∵O E⊥平面ABB1A1∴OE⊥AM,
∴AM⊥平面OEA1D1∴AM⊥D1O
法二:连OM,易证△D1D O∽OBM,于是D1O⊥OM
12.如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2,
D为CC1中点. 求证:AB1⊥平面A1BD;
分析:取BC的中点E,连AE,B1E,易证△DC B≌△EBB1,
从而B D⊥EB1
13、.如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,
过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,
求证:A1C⊥平面BDE;
(5)利用直径所对的圆周角是直角
14、如图,AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点,P A ⊥平面ABC . (1)求证:平面P AC ⊥平面PBC ;
(2)若D 也是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互
相垂直的各对平面.
O A
C B
P
D
.
15、如图,在圆锥PO 中,已知PO =2,⊙O 的直径2AB =,C 是狐AB 的中点,D 为
AC 的中点.证明:平面POD ⊥平面PAC ;
16、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD .以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M .
求证:平面ABM ⊥平面PCD ; .
证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.
O
A
P
B
M
z。