2014 —--201５学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()⎰dx x f 可表为()C dt t f xa +⎰( ）． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]⎰⎰⎰⋅=dx x g dx x f dx x g x f （ )．3． 若()⎰+∞adx x f 绝对收敛，()⎰+∞adx x g 条件收敛，则()()⎰+∞-adxx g x f ][必然条件收敛（ )。
４． 若()⎰+∞1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1n n f 收敛（ )5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。
６。
若数项级数∑∞=1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大( ).7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分)1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上( )A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。
不能确定2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等,则（ ）Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积；B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C 。
()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()⎰⎰=bab adx x g dx x f ；D 。
()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定4。
设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞→n n u ，则级数∑nu 一定收敛；B 。
若1lim1<=+∞→ρnn n u u ,则级数∑n u 一定收敛;C ． 若1,1<>∃+n n u uN n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；D 。
若1,1>>∃+n n u uN n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散;5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。
∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ．∑nnxa 在收敛域上各点是绝对收敛的;C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值(每小题5分，共1０分）1. ()()()n n n n n n n+++∞→ 211lim2． ()⎰dx xx 2cos sin ln四. 判断敛散性（每小题5分，共1５分)１。
dx xx x ⎰∞+++-021132.∑∞=1!n n n n3． ()nnn nn 21211+-∑∞=五． 判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1。
()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n2. (][)∞+⋃-∞-=∑,22,2D xn n六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割,求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
（本题满１0分)七。
将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中(即底边在上)，且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为2０米，高为10米,求该三角形铁板所受的静压力.（本题满分10分)八。
证明：函数()∑=3cos n nxx f 在()∞+∞-,上连续，且有连续的导函数．（本题满分9分）2014 －—-2015学年度第二学期《数学分析2》B 卷• 答案学院 班级 学号（后两位） 姓名一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1。
✘ 2.✔ 3。
✘ 4． ✔ ５. ✔ ６. ✔ 7。
✔ 二.单项选择题（每小题３分，共1５分）1． B ; 2。
C ; 3。
Ａ ； 4.Ｄ； 5.B 三.求值与计算题（每小题5分，共10分)1．dx ex x x xnn ⎰+∞→310223sin lim解：由于⎰⎰≤+≤310310223sin 0dx x dx e x x x n xn-—－－－－----——-—--—--－—————３分而 03111limlim131=+=+∞→∞→⎰n n n n n dx x －——-—－-—-—-—－——－－－-－—-－—－————————4分故由数列极限的迫敛性得:0sin lim31223=+⎰∞→dx ex x x xnn —-－－-———－－——--—－—--—-—---－-——－－——--－—5分 ２. 设()x x x f sin sin 2=，求()dx x f xx ⎰-1 解:令 t x 2sin = 得()dx x f xx ⎰-1=()()t d t f tt 2222sin sin sin 1sin ⎰-—－--—--——---－－-－2分=tdt t ttt t cos sin 2sin cos sin ⎰=⎰tdt t sin 2 ——－——---－--—-—－——-———--—-－－－－—－-—-—4分=2cos 2sin t t t C -++=C -－---－－-－-———-——5分四．判别敛散性（每小题5分,共１0分）1。
dx xx ⎰-121arctan解：()241arctan lim1arctan 1lim 012211π=+=---→-→xx xx x x x ———－——-3分且 121<=p ，∴由柯西判别法知，瑕积分 dx xx ⎰-1021arctan 收敛 －－-—-－－—－——－－—-－—－-—-——--５分２.()∑∞=2ln ln 1n nn解：时当00,,ln lim n n N n n n >∈∃+∞=+∞→有 2ln e n > -－--—--———--——--——--—－--－-－--２分从而 当0n n >()2ln 1ln 1nn n<-—－－-—-－-———-——--－-—－---———－—-—4分由比较判别法()∑∞=2ln ln 1n nn 收敛—－-————－——-—---－———-——－———--5分五。
判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）1. ()()∞+==+=,0,2,1,12D n n x x f n解:极限函数为()()D x x x f x f n n ∈==∞→lim -－—－-－－——-——－--－－—-－－－－2分又 ()()nx nx n x nx x f x f n 11/11222<++=-+=--－－-－-—-3分 ()()10sup n x Df x f x n∈∴<-≤从而0sup lim =-∴∞→f f n n故知 该函数列在Ｄ上一致收敛。
－----－-－－—-----—---—-－-—-５分2. ]1,1[,3sin 2-=∑D xn n解:因当 D x ∈ 时，()nn n n x x u ⎪⎭⎫⎝⎛≤=323sin 2－-—－-———--－－--2分而 正项级数 ∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛， —-—－-－—--－－－—-——————-——--————4分由优级数判别法知，该函数列在D 上一致收敛.－－—-－－-－－-－—-5分3。
()()∑+∞∞-=+-,,12D nx n解：易知，级数()∑-n1的部分和序列{}n S 一致有界，-—-２分而 对()n x x V D x n +=∈∀21, 是单调的，又由于 ()()∞→→≤+=∈∀n nn x x V D x n 011,2,——－-——－－－--－——--—－４分 所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=n x x v n 21在D 上一致收敛于０，从而由狄利克雷判别法可知,该级数在Ｄ上一致收敛。
-－--－—5分六． 设平面区域D 是由圆222=+y x ,抛物线2x y =及x 轴所围第一象限部分,求由D 绕y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分1０分）解:解方程组⎩⎨⎧==+2222x y y x 得圆222=+y x 与抛物线2x y =在第一象限 的交点坐标为：()1,1, ----——-—－——－－－—--—--－—---－—---－—---－－－－3分 则所求旋转体得体积为：()⎰⎰--=1122ydy dy y V ππ -—-—-——－——-－－--－—－--———－--—－—--7分=—-—-—-－—-——--——－－-＝ 76π ————-－-—--—-－—－--—－--—－--——－－——-—-————-－-－—－-－—-———－—-10分 七.现有一直径与高均为１0米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计),内中盛满水,求从中将水抽出需要做多少功？(本题满分10分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x 轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：dx x xdx dW νπνπ2552=⋅⋅= -—-－-—-—－－——--－－－－-－－---——-—--－-5分 故所求为:⎰=10215dx x W νπ —-—-——-—---——－——－-－—-——－－-—－-－—--－---8分 =１2５0πν=122５０π(千焦）—-－-—－—-—－—--－－-－—－—－—--－－-－－—---—－10分 八.设()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数,证明:若()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，则()∑x u n 在],[b a 上绝对且一致收敛. (本题满分9分） 证明：()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，所以有()()()b u a u x u n n n +≤ ---－--－-—－————-—-－———-－—--－--—4分又由()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，所以()()[]∑+b u a u n n 收敛,—－—---－—－－—-—－—－—--————－—-—－———－-———－－7分由优级数判别法知:()∑x u n在],[b a 上绝对且一致收敛。
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