重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（A ）课程试卷2013-2014学年第一学期（秋）请保留四位小数，部分下侧分位数为：0.95 1.65u =，0.99 2.33u =，20.95(1) 3.841χ=，0.95(3,6)9.78f =一、（18分）设1X ，2X ，…，64X 是来自总体N （0，2σ）的样本，X ，2S 分别是样本均值和样本方差：（1）求参数c 满足{}0.1P X S c >⋅=；（2）求概率22122234{1}X X P X X +>+；(3)求322321(2)i i i D X X X +=⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑。

(请写出计算过程)解：（1）~(1)t n-{}}0.1P X S c P c ∴>⋅=>=得0.95(63)c t = 故 1.650.20638c ==（2）2~(0,)X N σ22212(/)(/)~(2)X X σσχ∴+ 同理22234(/)(/)~(2)X X σσχ+2222223412122234(/)(/)(/)(/)/~(2,2)22X X X X X X F X X σσσσ+++∴=+ 22122234{1}{(2,2)1}X X P P F X X +>=>+ 且0.50.50.51(2,2)(2,2)1(2,2)F F F =⇒= 得2222121222223434{1}1{1}0.5X X X X P P X X X X ++>=-≤=++ (3)令2~(2,2)i i n i Y X X N μσ+=+，112n i i Y Y X n ===∑ 221()(1)ni Y i T Y Y n S =∴=-=-∑3232223211(2)[()]i i i i i D X X X DT D Y Y +==⎡⎤+-==-⎢⎥⎣⎦∑∑2~(0,2(11/))i Y YN n σ-+~(0,1)YN=3222422421[2(11/)4(11/)((32))256(11/32)i Y D n n D σσχσ=+=+=+∑二、（26分）设1X ，2X ，…，n X 是来自总体2~(2,)(0)X N σσ>的样本，{}0.95P X A <=。

（1）求参数2(2)b A =-的矩估计量1ˆb ；（2）求参数b 的最大似然估计量2ˆb ，并评价2ˆb 的无偏性、有效性、相合性；（3）求参数b 的置信度是1α-的置信区间。

（4）试确定检验问题：00100:,:(0)H b b H b b b =≠>的检验统计量和拒绝域。

解：22~(2,)~(0,1)X X N N σσ-∴220.95{}{}X A P X A P σσ--=<=<0.952A u σ-∴= 即0.952A u σ=+ （1）2220.95(2)b A u σ=-= 且22()EX EX DX =+ 2221111ˆ44n n i i i i X X n n σσ===+=∴=-∑∑2210.9511ˆ(4)ni i b X u n =∴=-∑(2) 0.952A u σ-=0.95σ∴=2220.952(2)(2)22()x x u bf x σ----==建立似然函数220.951(2)2220.95()(2)ni i x u n nn bL b ub eπ=----∑= 220.950.951ln ()ln(2)ln ln (2)222n i i u n nL b n u b x b π==-+---∑ 2220.9510.95221(2)ln ()1(2)()222nii ni i i x ud L b n n x u b db b bbn===-=-⋅+-=-∑∑ 2220.9511ˆ(2)n i i b x u n ==-∑ 无偏性：2222220.950.9520.951ˆ()((2))n i i u u E b E x n u b n n σσ==-=⋅==∑∴2ˆb 是参数b 的无偏估计。

有效性：2210.9522(2)ln ()()()22nii x d L b n nu b c b db bnb =-=-=∑且仅是b 的函数； 又220.9521ˆ()((2))n i i u E b E x b n ==-=∑ ∴2ˆb 是b 的有效估计量。

相合性：因为220.951((2))ni i u T E x n ==-∑，'()1g b =，所以''22()()1()2(),2()c b g b g b b I b DT n b c b n ==== 222ˆ()0()b DT D b n n==→→∞ 故2ˆT b =是b 的相合估计量。

（3）220.95b u σ=b ∴的置信度是1α-的置信区间既是2σ的置信度1α-的置信区间。

因均值μ已知设样本方差为2S ，得2σ置信度为1α-的置信区间22222222112222(1)(1)6363(,)(,)(1)(1)(63)(63)n S n S S S n n ααααχχχχ----=-- b ∴的置信度是1α-的置信区间为 222220.950.95222210.950.952222(63)(63)(,)6363u u uSuSααχχσσ-><（4）选择检验统计量：222(1)~(1)n S n χσ--；拒绝域22220.950.95222210.950.952222{)6363o u u uSuSK ααχχσσ-=><或三、（14分）假设飞机上用的铝制加强杆有两种类型A 与B ，它，它们的抗拉强度（2/kg mm ）分别服从2(,)A A N μσ与2(,)B B N μσ。

由生产过程知其标准差 1.2A σ=, 1.5B σ=（1）若从A 、B 两类加强杆中抽取的样本容量相同，那么要使得A B μμ-的0.90的置信区间长度不超过2.5kg/mm 2需要多少样本量？(2)给出统计假设0: 1.1, 1.1A B A B H μμμμ=>的检验统计量和拒绝域。

若对A ，B 两类加强杆各自独立地抽取了7根，测得抗拉强度的样本均值分别是87.6与74.5，试对统计假设进行检验（显著性水平取0. 1）。

解：1）设X 、Y 分别表示铝制加强杆两种类型A 、B 的抗拉强度，X 、Y 为样本均值。

则X 、Y 相互独立且2~(,)AA X N nσμ，2~(,)BB X N nσμ22~(,)A BA B X Y N nσσμμ+∴--0.95}0.90P u ∴<=由题置信区间的长度2 2.5u ≤解得样本容量7n ≥。

2）由题意知87.6X =，74.5Y = 当0H 成立时22~(0.1,()/)B A B X Y N n μσσ-+拒绝域00.9}K u =>四、（12分）用铸造与锻造两种方法制造某种零件，从各自制造的零件中分别随机抽取100只，经检验发现铸造的有10个不合格品，锻造有3个不合格品。

试问在显著水平0.05α=下，能否认为零件的不合格率与制造方法有关？ 解：根据题意，我们提出如下统计假设：0H ：零件的不合格率与制造方法无关；1H ：零件的不合格率与制造方法有关。

拒绝域为：220.95{(1) 3.841}χχ>=根据原假设，不同制造方法下零件不合格品的理论频数 6.5np =，2χ的样本值为认为零件的不合格率与制造方法无关。

五（18分）设样本(,)i i x Y ，1,2,i n =满足212,~(0,)i i i i Y x N βεεσ=++。

（1）求参数1β的最小二乘估计量1ˆβ；（2）分析1ˆβ的分布；（3）求2E ES ，其中2211ˆˆˆ(),2,1,2,,.nEi i i ii S Y y y x i n β==-=+=∑。

解：（1）由题得：2211(2)nEi i i S y x β==--∑ 21112(2)n Ei i i i S x y x ββ=∂=---∂∑令211102(2)0nEi i i i S x y x ββ=∂=∴---=∂∑ 得1121(2)ˆni iii nii x y x xβ==-=∑∑（2）1121(2)ˆni iii nii x y x xβ==-=∑∑，2112,~(2,)i i i i i Y x Y N x βεβσ=+++由正态分布的性质推知111ˆˆˆ~(,)N E D βββ服从正态分布。

111111222111(2)[2]2ˆn n n n ni i i i i i i i ii i i i i n n ni i i i i i x Y x E x Y x x EY x E E x x x β========⎡⎤---⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑ 11(2)2i i i i EY E x x βεβ=++=+ 11ˆE ββ∴= 22111112222221111(2)[2]ˆ()()n n n n i i i i i i i ii i i i n nn ni i i i i i i i x Y x D x Y x x DY D D x x x x σβ========⎡⎤--⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑∑ （3）2221111111ˆˆˆ(2)[(2)(2)][(2)]nnnEi i i i i i i ii i i ES E Y x D Y x E Y x D Y x ββββ====--=--+--=--∑∑∑11111ˆˆˆ[()][()2cov(,)]n ni i i i i ii i D Y x DY D x Y x βββ===-=+-∑∑ 2222222222111122(1)nni i nni i iii i x x n n xxσσσσσσ====+-=+-=-∑∑∑∑11222111112222211(2)ˆcov(,)cov(,)cov(,(2))cov(,)cov(,)n i i inni iii i ii i i i i i i i nnni i iiii i i i i i i nniii i x Y x x x Y x Y x Y x Y x Y x Y xxxx x Y Y xxβσ========-==-===∑∑∑∑∑∑∑∑则222222222222111122(1)nni i Enni i iii i x x ES n n n xxσσσσσσσ=====+-=+-=-∑∑∑∑六、（12分）某食品公司对一种食品设计了四种新的包装。