１、已知行人横穿某单行道路所需的时间为9秒以上，该道路上的机动车交通量为410辆/小时，且车辆到达服从泊松分布，试问：①从理论上说，行人能横穿该道路吗为什么②如果可以横穿，则一小时内行人可以穿越的间隔数有多少（提示：e=，保留4位有效数字）。

解：①从理论上说，行人不能横穿该道路。

因为该道路上的机动车交通量为：Q=410Veh/h ，则该车流的平均车头时距===-41036003600Q h t Veh ，而行人横穿道路所需的时间t 为9s 以上。

由于-t h （）<t(9s)，因此，所有车头时距都不能满足行人横穿该道路所需时间，行人不能横穿该道路。

②但由于该道路上的机动车交通量的到达情况服从泊松分布，而不是均匀分布，也就是说并不是每一个t h 都是。

因此，只要计算出1h 内的车头时距t h >9s 的数量，即可得到行人可以穿越的间隔数。

按均匀到达计算，1h 内的车头时距有410个（3600/），则只要计算出车头时距t h >9s 的概率，就可以1h 内行人可以穿越的间隔数。

负指数分布的概率公式为：3600/)(Qt t e t h P ->＝，其中t=9s 。

车头时距t h >9s 的概率为：025.136009410718.2718.2)9(-÷⨯-=>＝t h P =1h 内的车头时距t h >9s 的数量为：3588.0410⨯=147个答：1h 内行人可以穿越的间隔数为147个。

２、某信号控制交叉口周期长度为90秒，已知该交叉口的某进口道的有效绿灯时间为45秒，进口道内的排队车辆以1200辆/小时的饱和流量通过交叉口，其上游车辆的到达率为400辆/小时，且服从泊松分布，试求：1）一个周期内到达车辆不超过10辆的概率；2）周期到达车辆不会两次停车的概率。

解：题意分析：已知周期时长C 0＝90 S ，有效绿灯时间G e ＝45 S ，进口道饱和流量S ＝1200 Veh/h 。

上游车辆的到达服从泊松分布，其平均到达率＝400辆/小时。

由于在信号控制交叉口，车辆只能在绿灯时间内才能通过。

所以，在一个周期内能够通过交叉口的最大车辆数为：Q 周期＝G e ×S ＝45×1200/3600＝15辆。

如果某个周期内到达的车辆数N 小于15辆，则在该周期不会出现两次停车。

所以只要计算出到达的车辆数N 小于10和15辆的概率就可以得到所求的两个答案。

在泊松分布中，一个周期内平均到达的车辆数为：10903600400=⨯=⋅=t m λ 辆根据泊松分布递推公式m e P -＝)0(，)(1)1(k P k m k P ++＝，可以计算出： 0000454.071828.2)0(10==--m e P ＝，0004540.00000454.0110)1(=⨯＝P 0022700.00004540.0210)2(=⨯＝P ，0075667.000227.0310)3(=⨯＝P 0189167.00075667.0410)4(=⨯＝P ，0378334.00189167.0510)5(=⨯＝P 0630557.00378334.0610)6(=⨯＝P ，0900796.00630557.0710)7(=⨯＝P 1125995.00900796.0810)8(=⨯＝P ，1251106.01125995.0910)9(=⨯＝P 1251106.01251106.01010)10(=⨯＝P ，1137691.01251106.01110)11(=⨯＝P 0948076.01137691.01210)12(=⨯＝P ，0729289.00948076.01310)13(=⨯＝P 0520921.00729289.01410)14(=⨯＝P ，0347281.00520921.01510)15(=⨯＝P 所以： 58.0)10(＝≤P ， 95.0)15(＝≤P答：1）一个周期内到达车辆不超过10辆的概率为５８%；2）周期到达车辆不会两次停车的概率为９５％。

３、某交叉口信号周期为40秒，每一个周期可通过左转车2辆，如左转车流量为220辆/小时，是否会出现延误(受阻)如有延误，试计算一个小时内有多少个周期出现延误；无延误则说明原因。

(设车流到达符合泊松分布)。

解：1、分析题意：因为一个信号周期为40s 时间，因此，1h 有3600/40=90个信号周期。

又因为每个周期可通过左转车2辆，则1h 中的90个信号周期可以通过180辆左转车，而实际左转车流量为220辆/h ，因此，从理论上看，左转车流量呈均匀到达，每个周期肯定都会出现延误现象，即1h 中出现延误的周期数为90个。

但实际上，左转车流量的到达情况符合泊松分布，每个周期到达的车辆数有多有少，因此，1h 中出现延误的周期数不是90个。

2、计算延误率左转车辆的平均到达率为：λ=220/3600 辆/s ，则一个周期到达量为：m=λt=40*220/3600=22/9辆只要计算出一个周期中出现超过2辆左转车的概率，就能说明出现延误的概率。

根据泊松分布递推公式m e P -＝)0(，)(1)1(k P k m k P ++＝，可以计算出： 0868.0)0(9/22==--e e P m ＝， 2121.00868.0)9/22()0()1(=⨯=mP P ＝2592.02121.02/)9/22()1(2/)2(=⨯=⨯P m P ＝，5581.02592.02121.00868.0)2()1()0()2(=++=++≤P P P P ＝4419.05581.01)2(1)2(=-=≤-P P ＝1h 中出现延误的周期数为：90*=≈40个答：肯定会出现延误。

1h 中出现延误的周期数为40个。

４、在一单向1车道的路段上，车辆是匀速连续的，每公里路段上（单向）共有20辆车，车速与车流密度的关系符合Greenshields 的线性模型，阻塞的车辆密度为80辆/公里，自由流的车速为80公里/小时，试求：1）此路段上车流的车速，车流量和车头时距； 2）此路段可通行的最大流速； 3）若下游路段为单向辆车道的道路，在这段路上，内侧车道与外侧车道的流量之比为1：2，求内侧车道的车速。

假设车速与车流密度成仍符合Greenshield 的线性模型，每个车道的阻塞的车流密度为80辆/公里，自由流的车速为80公里/小时。

解：1) ① Greenshields 的速度—密度线性关系模型为：)1(jf K K V V -= 由已知可得：f V =80 km ／h ，j K = 80辆/km ，K=20辆/km∴ V=)80201(80-⨯=60 km ／h ② 流量—密度关系： Q=K )1(jf K K V - = KV = 20⨯60 =120辆/h ③ 车头时距：t h =Q 3600=12003600=3s 2) 此路段可通行的最大流速为：2fm V V ==280= 40 km/h3) 下游路段内侧车道的流量为：内Q =120031⨯= 400 辆/h 代入公式：Q=K )1(jf K K V - 得：400= K ⨯80(1-801) 解得：1K = 辆/km ，2K =辆/km∴由：)1(jf K K V V -= 可得：1V = 74.6km/h ，2V =5.4km/h答：1) 此路段上车流的车速为60 km ／h ，车流量为120辆/h ，车头时距为3s 。

2) 此路段可通行的最大流速为40 km/h3) 内侧车道的速度为74.6km/h 或5.4km/h 。

５、汽车在隧道入口处交费和接受检查时的饱和车头时距为秒，若到达流量为900辆/小时，试按M/M/1系统求：该入口处的平均车数、平均排队数、每车平均排队时间和入口处车数不超过10的概率。

解：按M/M/1系统：900=λ辆/小时，6.31=μ辆/s=1000辆/小时 9.01000900===μλρ<1，系统是稳定的。

① 该入口处的平均车辆数：990010009001=-=-=-=λμλρρn 辆 ② 平均排队数： 1.89.09=-=-=ρn q 辆③ 平均消耗时间：=⨯==36009009λnd s/辆 每车平均排队时间：μ1-=d w = = s/辆④ 入口处车辆不超过10的概率：∑===≤10034.0)10()10(n P P答：该入口处的平均车辆数为9辆，平均排队数为辆，每车平均排队时间为 s/辆，入口处车辆不超过10的概率为。

６、设有一个停车场，到达车辆为50辆/小时，服从泊松分布；停车场的服务能力为80辆/小时，服从负指数分布；其单一的出入道能容纳5辆车。

试问：该出入道是否合适（计算过程保留3位小数）解：这是一个M/M/1的排队系统。

由于该系统的车辆平均到达率：λ= 50 Veh/h ，平均服务率：μ= 80 Veh/h ，则系统的服务强度为：ρ=λ/μ= 50/80 = < 1 。

系统稳定。

（3分）由于其出入道能容纳5辆车，如果该出入道超过5辆车的概率很小（通常取小于5%），则认为该出入道合适，否则就不合适。

（2分）根据M/M/1系统中有n 辆车的概率计算公式：)1(ρρ-=nn P ）（ （7分） )1(0ρ-=）（P = 1- = ； 234.0375.0625.0)1(11=⨯=-=ρρ）（P 146.0375.0625.0)1(222=⨯=-=ρρ）（P 092.0375.0625.0)1(333=⨯=-=ρρ）（P 057.0375.0625.0)1(444=⨯=-=ρρ）（P 036.0375.0625.0)1(555=⨯=-=ρρ）（P该出入道小于等于5辆车的概率为：∑=50)(n n P = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=该出入道超过5辆车的概率为：P(>5) = 1- ∑=50)(n n P = = 。

答：由于该出入道超过5辆车的概率较大（大于5%），因此该出入道不合适。

７、某主干道的车流量为360辆/小时，车辆到达服从泊松分布，主要道路允许次要道路穿越的最小车头时距为10秒，求： 1）每小时有多少可穿越空档 2）若次要道路饱和车流的平均车头时距为5秒，则次要道路车辆穿越主要道路车辆的最大车辆数为多少 （本次复习不作要求。

如果同学们有兴趣可以参考教材P112的例题8-6）。

８、某交叉口进口道，信号灯周期时间T=120秒，有效绿灯时间G=60秒，进口道的饱和流量为1200辆/小时，在8:30以前，到达流量为500辆/小时，在8:30－9:00的半个小时内，到达流量达到650辆/小时，9:00以后的到达流量回复到8:30以前的水平。