常微分方程的应用17《常微分方程应用》结课作业学院：轻工与纺织学院班级：服装设计与工程13-1班学号：201321805024姓名：周志彬常微分方程经济应用微分方程在不仅在物理学、力学上有广泛的应用，在经济学和管理科学等实际问题中也比比皆是，本次我们将集中讨论微分方程的经济应用。
读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决经济管理实际问题的魅力.随着社会经济的迅速发展,数学在我们的生活中可以说无处不在,尤其是在经济管理中的应用越来越广泛.经济学必须进行定量研究.而常微分方程是对经济管理问题进行定量研究的最重要、最基本的数学工具之一，为了研究经济变量之间的联系及其内在规律,常常需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式,并由此确定所研究函数的形式,从而根据一些已知条件来确定该函数的表达式.从数学上讲,就是建立微分方程并求解微分方程.用微分方程解决问题，下面就是几个例子：一、公司资产函数例。
某公司t 年净资产有)(t W (百万元), 并且资产本身以每年5%的速度连续增长, 同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.(1) 给出描述净资产)(t W 的微分方程;(2) 求解方程, 这时假设初始净资产为;0W (3) 讨论在700,600,5000=W三种情况下, )(t W 变化特点. 解 (1) 利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度得到所求微分方程 .3005.0-=W dtdW (2) 分离变量，得 .05.0600dt W dW =- 两边积分，得11(ln 05.0|600|ln C C t W +=-为正常数），于是,|600|05.01t e C W =- 或 ).(600105.0C C CeW t ±==- 将0)0(W W =代入，得方程通解： .)600(60005.00t e W W -+= 上式推导过程中,600≠W 当600=W 时，0=dtdW 知,)600(60005.00t e W W -+= ,6000W W == 通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中.(3) 由通解表达式可知，当5000＝W 百万元时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；当6000＝W 百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在600百万元不变；当7000＝W 百万元时，公司净资产将按指数不断增大.二、价格调整模型例 如果设某商品在时刻t 的售价为P , 社会对该商品的需求量和供给量分别是P 的函数),(),(P S P D 则在时刻t 的价格)(t P 对于时间t 的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量)()(P S P D -成正比, 即有微分方程)0()]()([>-=k P S P D k dt dP (1.3)在)(P D 和)(P S 确定情况下, 可解出价格与t 的函数关系，这就是商品的价格调整模型.例如： 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S 是价格P 的单调递增函数, 商品需求量Q 是价格P 的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为P P Q bP a P S βα-=+=)(,)( (8.6)其中βα,,,b a 均为常数, 且.0,0>>βb当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格ba P e +-=βα 并称eP 为均衡价格. 一般地说, 当某种商品供不应求, 即Q S <时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即Q S >时, 该商品价格要落. 因此, 假设t 时刻的价格)(t P 的变化率与超额需求量S Q -成正比, 于是有方程)]()([P S P Q k dtdP -= 其中,0>k 用来反映价格的调整速度.将(8.6)代入方程, 可得)(P P dt dP e -=λ(8.7)其中常数,0)(>+=k b βλ方程(8.7)的通解为teCe P t P λ-+=)( 假设初始价格,)0(0P P =代入上式, 得,0eP P C -=于是上述价格调整模型的解为t e e e P P P t P λ--+=)()(0由于0>λ知,+∞→t 时, .)(e P t P →说明随着时间不断推延, 实际价格)(t P 将逐渐趋近均衡价格e P .三、新产品的销售速度分析记时刻t 时已售出的新产品数为X(t),假设该产品使用方便,这些正在使用的新产品实际上起着宣传的作用,吸引着尚未购买的顾客,设每一个新产品在单位时间内平均吸引K 个顾客,由此可知,X(t)满足微分方程:dXdt=KX,X(0)=0.其解为: X(t)=X 0eKt .若取t=0表示新产品诞生的时刻：则X(t)=0,与事实不符，它只考虑了实物广告的作用,而忽略了厂家可以通过其他方式宣传新产品从而打开销路的可能性，所以呢应该有个上界，设需求量的上界为K,则尚未使用新产品的户数为（K-X(t)）由统计规律可知,dXdt 与X(K-X)成正比,比例系数为r,则：dXdt=rX(K-X)它的解为X(t)=K/1+ce -Krt一阶导数Xc(t)=cK 2re-Krt /1+ce -Krt二阶导数Xd(t)=cK3r2(ce-Krt-1)(1+ce-Krt)2当Xc(t)>0时,X(t)单调增加,由Xd(t)=0)=K/2得出c e-Krt0=1,此时X(t当t<t0时,Xd(t)>0,即Xc(t)单调增加,这表示在销售量小于最大需求量的一半时,销售速度Xc(t)不断增大;当t>t0时,Xd(t)<0,即Xc(t)单调减小,这表示在销售量达到最大需求量的一半时(t=t),产品最畅销,其后(即t>t0),销售速度Xc(t)开始下降。
所以，用户采用某一新产品的这段时期,应是该产品正式大批量生产的较合适的时期,初期应采用小批量生产并加以广告宣传,后期则应适时转产,这样做可以取得较高的经济效益！四、差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用.1.“筹措教育经费”模型某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元,直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t 个月, 投资账户资金为,t a 每月存资金为b 元, 于是20年后, 关于,ta 的差分方程模型为1000)005.1(1-=+t t a a (9.11)且.,00120x a a ==例： 某家庭从现在开始,从每月工资中拿出一部分资金存入银行,用于投资子女的教育,计划20年后开始从投资帐户中每月只取1000元,直到10年后子女大学毕业并用完全部资金.要实现这个投资目标,20年内要总共筹措多少资金?每月要在银行存入多少钱?假设投资的月利率为0.5%, 解：设第t 个月,投资帐户资金为ta,每月存资金为b 元,于是,20年后,关于ta 的差分方程模型为 1000005.11-=+tt a a (9.11)且,0120=a .0x a =解方程(9.11)得其通解为 ,200000)005.1(005.111000)005.1(+=--=A A a t t t其中A 为任意常数.因为,0200000)005.1(120120=+=A a ,2000000x A a =+=从而有 45.90073)005.1(200000200000120=-=x .从现在到20年内,ta 满足方程 ba a t t +=+)005.1(1 (9.12)且,00=a .45.90073240=a解方程(9.12)得通解 ,200)005.1(005.11)005.1(b A b A a t t t +=--= 以及,45.90073200)005.1(240240=-=b A a ,02000=-=b A a 从而有.95.194=b即要达到投资目标,20年内要筹措资金90073.45元,平均每月要存入194.95元.2. 价格与库存模型本模型考虑库存与价格之间的关系设)(t P 为第t 个时段某类产品的价格, )(t L 为第t 个时段的库存量. L 为该产品的合理库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程)(1t t t L L k P P -=-+ (9.13)其中k 为比例常数.例：“百花”小商店是一个专门经营各类毛巾的商店。
每年营业时间为360天，每天平均售出400张毛巾，每张毛巾的批发价平均为0·70元，每次订货的平均费用为112元。
即每次订货，不论购买的数量多少都要支出112元。
现在商店是每半年进一次货，一年进两次货。
每张毛巾的存贮费用一年为0·126元。
这个商店的经理感觉到每年订货两次看来并非是一个好的订货方法，他希望能找到一种方法能帮助他确定每年应该订货几次。
每次的数量应该为多少，将可能为他节约一笔总的库存费用。
解析：现在“百花”商店是每年进货两次，每年毛巾的需求量是H=（400*360)144000张，则每次订货数量为144000/2=72000张。
这个库存问题是等量需求及时补充的，因此不会产生脱销费用。
这时的年度总库存费用=年订货费用+年存贮费用，用公式表示为∶A=B+C其中∶A为年总库存费用；B为年订货费用，B=HS/Q，式中H为年需求量，本例H=144000张 。
S 为每次订货费用 ， S=112元。
Q 为每次订货量 ，本例 Q=72000张。
则B=HS/Q =144000 ×112/72000=224元。
每年订货次数（ N= H/Q) ，则 B=NS=2 ×112=224元 。
C 为年存贮费用， C=Q/2×K ， K 为单位商品的存贮费用，Q/2为平均库存量。
本例 K=0.126元 ，则 C=72000/2 ×0.126=4536元 。
因此“百花”商店每年订货两次，每次订货量 为 72000张时的总库存费用为A=B 十C=224 ＋ 4536=4760元。
3. 国民收入的稳定分析模型本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.设第t 期内的国民收入ty 主要用于该期内的消费t G , 再生产投资tI 和政府用于公共设施的开支G (定为常数), 即有G I C y t t t ++= (9.17)又设第t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即)10(1<<=-A Ay C t t (9.18)第t 期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有)(1--=t t t C C B I (9.19)由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得 G BAy y B A y t t t =++---21)1( (9.20)于是, 对应A , B , G 以及,,0y y 可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.例： 社会原收入水平1000亿元，消费为800亿元。