12 8 15 10 0.3 0.2 0.8 1 2 0.3 12 0.2 15 0.8 1 0.3 8 0.2 10 0.8 2 7.4 6 (元)
若另一商店的价格是
0.4
0.3 0.6 用矩阵如何表示?有何优点?
34.5 37.7 7 . 7 . 7
一分店 二分店
这个结果的意义是什么?
利润 3.2 0.7 (单位： 十万元)
进货金额 销售金额 34.5 37.7 7 7.7
1. 矩阵的乘法
定义
B bij 是一个 设 A a ij 是一个m s 矩阵， s n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
cij ai 1b1 j ai 2 b2 j ais bsj aik bkj
s
i 1,2,m; j 1,2,, n,
并把此乘积记作
k 1
C AB .
例2.2.5
4 2 4 2 C 1 2 22 3 6 22
进货价 销售价
(单位:千元/台) 47吋 42吋 2 1.5 2.2 1.6
3 3.3 (数量矩阵×价格矩阵) 7 3 5 1 2 0 . 2 2.2 1.5 1.6 7 3 3 2 5 1.5 7 3.3 3 2.2 5 1.6 1 3 2 2 0 1.5 1 3.3 2 2.2 0 1.6
系数矩阵和增广矩阵
例2. 2. 1
三元线性方程组
3x 8 1x1 2 x2 3 8, 5 x 2 x 4, 0 5 2 4 2 3 22 x1 0 3 3x 2 3 2
的 系数矩阵和增广矩阵分别是
12 15 0.3 12 0.2 15 0.8 1 7.4(元) 0.3 0.2 0.8 1
这是一行矩阵与一列矩阵的乘法.
引例 2
上例,若还有一个小学生买了8支铅笔; 练习本 10本; 蓝墨水2瓶, 各样物品价格相同. 两人各自共 花去多少钱? 能用矩阵表示计算过程吗?是否更简约?
《方程》章的解法为
“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右
方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直 除。又乘其次, 亦以直除……” (直除——减去对应 的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：
用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减
例2.2.6 设
32 16 16 22 8
4 2 1 1 1 2 1 3
?
1 0 1 2 A 1 1 3 0 0 5 1 4
a11 a12 a21 a22 A A a m 1 a m 1 a1n a 2 n . amn
2) 数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 λ + μ A = λA + μA, λ A + B = λA + λB;
当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了
引例3 某商店上半年电视经营情况
某商店上半年电视销售情况(单位:百台)
51吋 7 1 51吋 3 3.3 47吋 3 2 42吋 5 0
简记为
一分店
二分店
7 3 5 1 2 0
3 3.3 2 2.2 1.5 1.6
3 Α + Ο = Ο + Α = Α.
(零矩阵的单位性)
T T T
(4) A + B = A + B .
(保持转置性)
(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法
a11 a 21 A = am1 a12 a22 am1 a1n a2 n aij , amn
• 矩阵的简记法:
B1 – (aij)mn B 2 An –用行向量表示 A 1, A 2, –用列向量表示 B m 这里，Aj为列向量，Bi为行向量。
矩阵的相等
矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才 相等. 行数和列数不相等的矩阵绝不能相等! 行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个 矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。
我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职 工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A ＋ B 表示，即
50 100 5 100 300 10 150 400 15 A B ' 10 200 15 25 100 20 35 300 35


称为矩阵A的负矩阵。
有 A A O, A B A B .
这就是矩阵的减法
例2.2.1
设某公司的职工按男女区分统计如下
总公司 分公司 其他 5 15 技术人员 生产工人 100 25 300 100 其他 10 20
技术人员 生产工人 男 女 50 10 100 200
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 . 6 3 3 6 2 8 9 81
2) 矩阵加法的运算规律
1 A + B = B + A; (交换性) 2 A + B +C = A + B +C . (结合性)
2.2.1 矩阵的概念
• 引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台) 简记为 51吋 47吋 42吋
一分店 二分店 7 1 51吋 10 2 3 2 47吋 6 3 5 0 42吋 5 1
某商店下半年电视销售情况(单位:百台) 一分店
二分店
7 3 5 1 2 0
10 6 5 2 3 1
2.2 矩阵及其运算
矩阵也是是线性代数的重要工 具，矩阵理论的应用，最常见 也最重要的就是解线性方程组。
温州大学教育学院 王靖庶
本节知识点和教学要求
知识点
– 矩阵的概念
– 矩阵的乘法
– 逆矩阵
-矩阵的加减和倍数 -初等变换和矩阵的秩 -求解可的基本法则 – 熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩 – 熟练运用初等变换求矩阵的逆 – 熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程
求全年电视销售情况？
7 10 3 6 5 5 1 2 2 3 0 1
a11 a21 A 矩阵——矩形数表 用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示 am1
定义
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象; 方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数. 向量:1 × n阶矩阵——行向量, n × 1阶矩阵——列向量.
从矩阵 A ＋ B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男 性技术人员、生产工人、其他职工分别为150 、 400 、 15 人，而女性职工分别为 35 、 300 、 35 人．
例2.2.4 设
4 2 4 2 5 2 0 2 0 1 5 1
去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数——上禾每 秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右 行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:
接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”，
即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解 一次方程组的加减消元法十分一致. 最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾 之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法 乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数 而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。” 法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一 书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法 解联立一次方程组。 前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并 以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.
(对加法的分配性)
2 λμ A = λ μA ;
T T 3 ( λ A) = λ A .
(结合性) (保持转置性)
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线性运算.
2.2.3 矩阵的乘法
引例1
一个小学生买了12支铅笔,每支0.3元; 练习本15本, 每本0.2元; 蓝墨水一瓶,价0.8元.共花去多少钱? 计算过程可表示如下:
2.2.2 矩阵的加减和倍数
1、矩阵的加法
１) 定义 设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2
零矩阵
矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。 即
0 5 2 k 1
k 1 0 0 2 0 O 2 0 5 k 1
转置矩阵AT
a11 a12 a21 a22 A an1 an 2
a11 a21 a22 a a2 n T 12 A ann a1n a2 n
a1n
an1
an 2 ann
显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵. (AT)T =A.