1。

4 矩阵的概念和运算教学要求 :(1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。

(2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容：前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。

但是Cramer 法则有它的局限性：1.02. D ≠⎧⎨⎩所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数）同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。

本节课主要学习矩阵的概念。

一．矩阵的概念12312312323124621x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=-⎨⎪+-=⎩它的系数行列式 1232460111D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示：123124621111A ⎛-⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪-⎝⎭这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。

这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。

123246111A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。

注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。

D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。

况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。

关于以上线性方程组我们后面将介绍。

更一般地，对于线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111他的系数矩阵：11121121222212n n m m mnm m na a ab a a a b a a a b ⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1）当n m ≠时，称n m ⨯矩阵为长方阵（长得像长方形）； 2）当n m =时，称矩阵为n 阶方阵（长得像正方形），简称方阵； 3）当m =1时只有一行，即（a 11 a 12…a 1n ）称之为行矩阵（或行向量）；4）当n=1时矩阵只有一列，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111m a a a 称之为列矩阵（或列向量）；另外，行列式11122122a a a a 是由以上n m ⨯矩阵1，2两行和1，2两列上交点的四个元素组成的一个2阶行列式，称为该矩阵的二阶子式。

二．特殊矩阵（上三角）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a 00022211211（下三角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a21222111000 上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵（对角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a0000002211（次对角）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000001)1(21n n n a a a（单位阵）100010001E ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（零矩阵）所有元素全为零，记为n m O ⨯ “单位阵”和“零矩阵”类似于数当中的1和0 。

称为m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵，有时标记在右下角。

三．矩阵相等 ⎧⎨⎩同型：两矩阵行数、列数对应相等对应元素相等例如，矩阵,391031,231322122111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B a a a a a a A若A = B ，则 a 11=1, a 12=0, a 13=9, a 21=-3, a 22=1, a 23=-3． 四．矩阵的四则运算过去我们学习的数、式子、极限、导数有四则运算法则，今后将学习的概率中的事件也有加法和乘法的运算，即事件的并和事件的交。

今天，数表――矩阵也有加减乘除的四则运算法则。

1．加法（减法）()ij ij A B a b +=-即对应位置上的元素进行加减运算例1 设矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=120432,152403B A ，求A+B ，A-B. 解：,022031130432152403⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+B A.282835130432152403⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-B A注意：1234c ⎛⎫= ⎪⎝⎭与A ，B 则不能进行加法运算，可见，只有同型矩阵才能进行加减法运算。

运算规则：（1）加法交换律 A + B = B + A ；（2）加法结合律 （A +B ）+C = A +（B +C ）； 2．数乘一个数乘矩阵是这个数乘矩阵所有的元素，这点与行列式根本不同.例2 设两上3×2矩阵A ，B 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=222131,302121B A ，求54A B -解： 先做矩阵的数乘运算3A 和2B ，然后求矩阵3A 和2B 的差因为 515(2)51055250100,5153515A ⨯⨯--⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=⨯⨯= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⨯⨯⎝⎭⎣⎦,8884124)2(424)2(4)1(434144⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯=B所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-238692188841241502510545B A 运算规则：1．分配率：数对矩阵的分配律k (A +B )=k A +k B ，矩阵对数的分配律(k +l )A =k A +l A 2．结合率：数与矩阵的结合律(k l )A =k (l A )= l (k A )３．矩阵乘矩阵矩阵与矩阵相乘，两张表格拿来乘，不是简单的对应元素相乘，另有其规则。

例3 32123456A ⨯⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 221234B ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭解：1212343456A B ⎛⎫⎛⎫⎪⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭112312243143324451635264⨯+⨯⨯+⨯⎛⎫ ⎪=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭3271015222334⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例4 23321035A ⨯-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 32135006 B ⨯⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 矩阵乘矩阵，即左矩阵的行乘右矩阵的列得到的新矩阵的第i 行第j 列元素是原来左矩阵的第i 行元素与右矩阵第j 列元素乘积之和。

解： 2332133215003506 AB ⨯⨯⎛⎫-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭22731530⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭2332 133215035 006BA ⨯⨯⎛⎫-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭33141510501830⨯⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭3-7可见 ：1）矩阵乘法未必满足交换率2）新矩阵与原矩阵关系――型状上的规律性：新矩阵的行数与列数即为：原左矩阵的行数和原右矩阵的列数。

3）而原左矩阵的列数必须与右矩阵的行数相等，才能进行乘法。

例5 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122,2142B A求AB 和BA 解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯-⨯+⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)12)2(1)1(221)14)2(2)1(42211222142AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000 例5中矩阵A 和B 都是非零矩阵，但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 却是一个零矩阵。

这在数与代数式的运算中是没有的。

矩阵的行列式矩阵A 的行列式称为矩阵的行列式，记为 det A 或 A 。

例如 1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则 1234A =特殊的，对于方阵乘积的行列式有如下非常类似于一般代数运算的运算律：若A 与B 均为n 阶方阵，则两个方阵乘积的行列式等于每个方阵行列式的乘积。

即det()det det det()AB A B BA ==（证明略）例如det ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4302-3451=det⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3451det ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4302- =40)8(5=-⨯-若两个矩阵A 和B 满足AB =BA ，则称矩阵A 和B 是可交换的. 练习：.3140,2141⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A因为,1028431402141⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1028421413140BA即AB =BA ，所以，矩阵A 和B 是可交换的。

例6 设矩阵.2346,51102,6342⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=C B A求AB 和AC .解： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000511026342AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=000023466342AC 在例6中，显然不能从AB =AC 中消去矩阵A 而得到B =C 。

这说明矩阵乘法不满足消去律. 一般地，当乘积矩阵AB =AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A 而得到B =C 。

总之，矩阵乘法不满足交换律、消去律，但矩阵乘法与数的乘法也有相似的地方，即矩阵乘法满足下列运算规则： 运算规则：1、乘法结合律 （AB ）C =A （BC ）；2、左乘分配律 A （B +C ）=AB +AC ； 右乘分配律 （B +C ）A =BA +CA ；3、数乘结合律 k （AB ）=（kA ）B =A （kB ），其中k 是一个常数. 特别地，当A 是n 阶矩阵时，我们记AA …A =m A ，m 个m A 称为矩阵A 的m 次幂，其中m 是正整数。

当m =0时，规定0A =E 。

显然有A k A l =A k +l ，(Ak )l =A kl ，kllk A A =)(其中k ，l 是任意正整数.由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地（AB ）k ≠A k B k .例7 设矩阵,1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A求矩阵A m ，其中m 是正整数. 解： 因为，当m =2时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10221102110212A 设m = k 时，,10)1(211022110211021⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=k k k A k 则 ,10)1(2110221102110211⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯==+k k k A A A k k 所以，由归纳法原理可知.1021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m A m五．矩阵的转置将一个m ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 的行标和列标互换后所得的n ×m 矩阵，称为A 的转置矩阵，记作A T 或A t即.212221212111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯=mn n nm m Ta a a a a a a a a A例如：14123254563 6T⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，有时列向量用转置来表示：()121233T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭容易验证矩阵的转置满足下列运算规则：(1)（A T ）T =A ； (2)（A +B ）T =A T +B T ； (3)（kA ）T =kA T ，（k 为实数）； (4)（AB ）T =B T A T .例8 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=250110,543421,0651C B A ，求C AB T 4+ 解： C AB T 4+= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0651t⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛543421+4 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛250110 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0651⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542341+4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛250110 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1824622169+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8042040 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛26241042209 如果矩阵A =(a ij )满足：A = A T 即它的第i 行第j 列的元素与第j 行第i 列的元素相同，即a ij =a ji （i ，j =1,2,…,n ） 则称A 是对称矩阵。