B
A
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示:
B
A
C
到站
D
A
B
C
D
A
发站 B C
D
其中 表示有航班.
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
改成1,空白地方填上
A
B
C
D
A
B
C
D
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
这个数表称为一个 4 行 4 列矩阵或 4 4矩阵.
(1) ()A (A) ; (2) ( )A A A ; 矩阵对数的分配律
(3) (A B) A B; 数对矩阵的分配律
（4） 1A = A ； （5） 0A = 0.
例2 设矩阵 A、B、C 满足等式 3(A C) 2(B C) ,
其中
A
2 1
3 3
6
5
,
B
3 1
2 3
4
5
,
求
C
.
C 0 1 2 1 3 1
（三）、矩阵与矩阵乘法
1). 定义
设 A (aij ) 是一个m s 矩阵，B (bij ) 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积 是一个m n 矩阵 C (cij ) ，其中
cij
a bi1 1 j
ai b2 2 j
aisbsj
是一个 1 4 矩阵,
4
是一个 11 矩阵.
二、矩阵的计算
（一）、矩阵的加法 （二）、数与矩阵相乘 （三）、矩阵与矩阵乘法 （四）、方阵的幂 （五）、矩阵的转置
（一）、矩阵的加法
1)、定义
设有两个 m n矩阵 A (aij ), B (bij ), 那末 矩阵 A 与B 的和记作A B，规定为
4)、 矩阵减法 A B A (B) .
（二）、数与矩阵相乘
1)、定义
数 与矩阵 A的乘积记作A 或 A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am2 amn
A ( aij ) .
例如: 2 1 3 2 6 2 2 4 4
2）、数乘矩阵的运算规律 (设 A、B为 m n 矩阵， ,为数)
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
说明 :
(1) 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
(2) 矩阵的加法即为对应位置元素相加， 可推广至有限个同型矩阵相加.
s
aik bkj
k 1
i 1,2,m; j 1,2,,n,
并把此乘积记作 C AB .
例
a11 a21
a12 a22
a13 a23
b11 b21 b31
b12 b22 b32
a11b11 a12b21 a13b31 a21b11 a22b21 a23b31
a11b12 a12b22 a13b31 a21b12 a22b22 a23b31
可将这个表简记为如下形式
90 86 95
78
80
70
92 93 96
66 74 75
这个数表称为一个 4 行 3 列矩阵或 4 3矩阵.
引例2 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干 航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到 B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.
13 11 4 7 4 4.
6 8 9
同型矩阵与矩阵相等的概念
1)两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩
阵.
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2)两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,
并且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
2、矩阵的定义
定义 由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的 m行 n 列的数表
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为 m行n列矩阵 .简称 m n 矩阵.
a11 a12
记作
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
例3 C 2
1
4 2 222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例4 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解 A (aij )34 , B (bij )43,
C (cij )33 .
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
2)、 矩阵加法的运算规律
(1) A B B A ; (2) ( A B) C A (B C) .
3)、 矩阵 A 的负矩阵 A
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
(aij ),
am1 am1 amn
显然 A ( A) O . 此处的零矩阵与 A 是同型矩阵.
第一章 矩阵 §1 矩阵及其计算 §2 几种特殊矩阵
一、矩阵的概念
1、引入
引例1 假设我们记录4名学生甲、乙、丙、丁的3门课程
（数学、语文、英语）的期末考试成绩. 若按满分100分 评定，期末考试成绩由下表所示.
成绩 学生
课程
数学
甲
90
乙
78
丙
92
丁
66
语文
86 80 93 74
英语
95 70 96 75
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个
24
矩阵,
13 6 4
2
2
2
是一个 3 3 矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
a11 b11
Ab12
a22 b22
a1n b1n a2n b2n
am1 bm1 am2 bm2 amn bmn
A B (aij bij )
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 16 95 04 3 3 6 2 8 1