lg Y n lg a lg bt t lg Y lg at lg bt 2
求出lga和lgb 后，再取其反对数，即得算术形式的a 和b
指数曲线
(例题分析)
指数曲线
(例题分析)
【例】根据社会总需求量数据，确定指数曲线方程， 计算出各期的趋势值，预测1998年的社会总需求量，
lg a 35.05
a
（212
.4
178
.0）（0.05.55556563
1 1）2
22.254
K
1 3
178.0
(22.254)
0.55563 1 0.5556 1
73.163
修正指数曲线
(例题分析)
产品销售量的修正指数曲线方程 Yˆt 73.163 22.254(0.5556)t
2001年产品销售量的预测值
1
6
0.96522 1
1 12034 6416.7932 936.2011
6
Logistic 曲线
(例题分析)
人口总数的Logistic曲线方程
Yˆt
107
936.20111166.293 0.96522t
2000年人口总数的预测值
Yˆ2000
107
936.20111166.293 0.9652221
6706.9158
趋势线的选择
1. 观察散点图 2. 根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线
– 一次差大体相同，配合直线 – 二次差大体相同，配合二次曲线 – 对数的一次差大体相同，配合指数曲线 – 一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线 – 对数一次差的环比值大体相同，配合 Gompertz
曲线 – 倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲
为未知常数
≠ 0a，bt0 < b ≠
1
3. 用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降 低，最终则以K为增长极限
修正指数曲线
(求解k，a，b 的三和法)
1. 趋势值K无法事先确定时采用
2. 将时间序列观察值等分为三个部分，每部 分有m个时期
3. 令趋势值的三个局部总和分别等于原序列 观察值的三个局部总和
2000年布产量的预测值
Yˆ 153.38 6.9898 15 258.227 2000
4.2 非线性趋势预测
二次曲线
(second degree curve)
1. 现象的发展趋势为抛物线形态
2. 一般形式为 Yˆt a bt ct 2
3. 根据最小二乘法求 a，b，c的标准方程
Y na bt ct 2 tY at bt 2 ct 3 t 2Y at 2 bt 3 ct 4
lg b 3.57
指数曲线方程
Yˆ t
99.48(1.65)t
：
1998年社会总需求量的预测值
Yˆ 99.48(1.65)10 14879.05 1998
修正指数曲线
(modified exponential curve)
1. 在一般指数曲线的方程上增加一个常数项K 2. 一般形式为
KKY，ˆ>t a0，，Kba
修正指数曲线
(求解k，a，b 的三和法)
1. 设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3
m1
2 m1
3 m1
S 1
Y t
,
S 2
Y t
,
S 3
Y t
t 0
tm
t 2 m
2. 根据三和法求得
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
a
S 2
S 1
b
b m
1
12
K
1 m
S 1
abm 1
b 1
4. 两端都有渐近线，上渐近线为YK,下渐近线为Y 0
Gompertz 曲线
(求解K，a，b 的三和法)
1. 将其改写为对数形式： lg Yˆt lg K (lg a)bt
2. 仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出 lga、lgK、b
3. 取 lga、lgK 的反对数求得 a 和 K
令： S 1
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
Gompertz 曲线
(例题分析)
1
b 2.9254 2.7388 3 0.7782 2.7388 2.3429
log a (2.7388 2.3429) 0.7782 1 0.3141 (0.77823 1)2
线性模型法
(例题分析)
【例】根据上表布产量数据，用最小二乘法确定直线趋 势方程，计算出各期的趋势值，并预测2000年的布产量
b 14 23199.7 105 2881.27 6.9898 a 2881.27 6.9898105 153.38
141015 (105)2
14
14
线性趋势方程 Yˆ 153.38 6.9898t t
(例题分析)
Logistic 曲线
(例题分析)
1
b 981310806 6 0.96522 10806 12034
a 10806 12034
0.96522 1 0.965226 1 2
1228 0.94975 1166.293
K
1
12034 1166.293
0.96522 6
罗吉斯蒂曲线
(Logistic curve)
1. 1838年比利时数学家 Verhulmpertz曲线类似
3. 其曲线方程为
Yˆt
K
1 abt
K，a，b 为未知常数 K > 0，a > 0，0 < b ≠1
Logistic 曲线
(求解k，a，b 的三和法)
m1
lg
Y t
,
2 m1
S 2
lg
Y t
,
3 m1
S 3
lg
Y t
t 0
tm
t 2 m
则有：
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
lg a
S 2
S 1
b
b m
1
12
lg K
1 m
S 1
bm 1 • lg a
b 1
【例】某公司
1989—1997 年的某产品实 际销售额数据 如表。试确定 修正指数曲线 方程，计算出 各期的趋势值 ， 预 测 2000 年的糖产量
第四章 趋势模型预测法
4.1 直线趋势预测法 4.2 非线性趋势预测预测法
4.1 直线趋势预测法
直线趋势预测法是根据预测对象具有线性变 动趋势的历史数据，你合成一条直线，通过 建立直线模型进行预测的方法。
线性模型法
(线性趋势方程)
• 线性方程的形式为
Yˆt a bt
Yˆt —时间序列的趋势值 t —时间标号 a—趋势线在Y 轴上的截距 b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个
单位时观察值的平均变动数量
线性模型法
(a 和 b 的最小二乘估计)
1. 趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二乘法 求得
根据回归分析中的最小二乘法原理 使各实际观察值与趋势值的离差平方和为最小 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可用于配合趋势曲线
2. 根据趋势线计算出各个时期的趋势值
线性模型法
指数曲线
(exponential curve)
1. 用于描述以几何级数递增或递减的现象 2. 一般形式为
Yˆt abt
a，b为未知常数 若b>1，增长率随着时间t的增加而增加 若b<1，增长率随着时间t的增加而降低 若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限
指数曲线
(a，b 的求解方法)
1. 采取“线性化”手段将其化为对数直线形式 2. 根据最小二乘法，得到求解 lga、lgb 的标准方程为
线
二次曲线
(例题分析)
二次曲线
(例题分析)
【例】根据产品销售量数据 ，计算出各期的趋势 值和预测误差，并预测2001年的能源生产总量
a=35.05
b=3.57 c=－0.69
二次曲线方程： Yˆt 35.05 3.57t 0.69t 2
2001年产品销售量的预测值
Yˆ 35.05 3.57 5 0.69 52 35.65 2001
Yˆ2001 73.163 22.2540.55569 73.05
Gompertz 曲线
(Gompertz curve)
1.以英国统计学家和数学家 B·Gompertz 的名字而命名 2.一般形式为
Yˆt Kabt
K，a，b为未知常数 K > 0，0 < a ≠ 1，0 < b ≠ 1
3. 描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定 程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线
log
K
1 3
2.3429
0.77823 1
0.7782 1
0.3141
1.0306
Gompertz 曲线
(例题分析)
产品销售额的Gompertz曲线方程
Yˆt 10.73 0.48520.7782t
2000年产品销售额的预测值
Yˆ 10.73 0.4852 0.778211 10.35 2000
1. 取观察值Yt的倒数Yt-1 当Yt-1 很小时，可乘以 10 的适当次方
2. a，b，K 的求解方程为
b
S 3
S 2
S 2
S 1
1
m
a
S 2