横向剪力
Qφ、Qθ
有力矩理论或 Mφ、Mθ、
Mφθ、Mθφ、 弯曲理论 （静不定）
即
无力矩理论: 只考虑薄膜内力, 忽略弯曲内力的壳体理论。
有力矩理论: 同时考虑薄膜内力和弯曲内力的壳体理论。
无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿 壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因 此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。 18
2 2 ＝0，y＝b） pa 在壳体顶点处（ x a R1＝R2＝ 2bt b
在壳体赤道处（ x＝a，y＝0）pa 2 R1＝b /a, R2=a
2t
pa a2 1 2 t 2b
②椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴 之比a／b有关 a＝b时，椭球壳 a／b 球壳，最大应力为圆筒壳中 的一半， ，如图2-9所示。
9
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2. B点受力分析 轴向：经向应力或轴向应力σ
B点
φ θ
内压P
圆周的切线方向：周向应力或环向应力σ 壁厚方向：径向应力σ
σ 、σ
r
θ
φ >>σ r
三向应力状态
二向应力状态
因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σ φ 和σ θ (见图2-1)
10
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3. 应力求解 截面法
y


t
4 2 2 2


（2-10）
2
1
a4 2 4 2 2 2 a x ( a b )
又称胡金伯格方程
33
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pa/t





图2-9 椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律
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结论: ①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。
（2-5）
将式（2-5）代入 式（2-3）得：
R2 (2 ) R1
（2-6）
26
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A、球形壳体
球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等， 即R1=R2=R 将曲率半径代入式（2-5）和式（2-6）得：
pR 2t
结论:
（2-7）
a. pR 2t

Di
p
p
x

(b)
(a)
图2-2 薄壁圆筒在压力作用下的力平衡
11
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轴向平衡： 应力 求解 图2-2 圆周平衡： 静定

4
D2 p
= Dt
= pD
4t
2 pRi sin d 2t
2 0

pD 2t
2
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平行圆半径r： 等于R2在垂直于轴平面上的投影
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K1
O'
K1 K2
x r
R1
A x y
K2
θ
R2
A'
z
r O B

z
ξ
R1
平行圆
经线
R2
a.
b.
图2-3 回转薄壳的几何要素
同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。 曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。 r与R1、R2的关系： r=R2sin
4
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本章主要内容
●2.5 壳体的稳定性分析
2.5.1 概述
2.5.2 外压薄壁圆柱壳弹性失稳分析
2.5.3 其他回转壳体的临界压力
●2.6 典型局部应力
2.6.1 概述 2.6.2 受内压壳体与接管连接处的局部应力 2.6.3 降低局部应力的措施
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2.1 载荷分析
2.1.1 载荷 内压 压力 外压
整体载荷 载荷 非压力载荷 局部载荷 交变载荷
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重力载荷 风载荷 地震载荷 运输载荷 波动载荷 管系载荷 支座反力 吊装力
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2.1.2 载荷工况
正常操作工况
压力试验
载荷工况 特殊载荷工况 开停车及检修 紧急状态下快速启动
意外载荷工况
紧急状态下突然停车
7
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2.2 回转薄壳应力分析
36
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⑤工程上常用标准椭圆形封头，其a/b=2。
的数值在顶点处和赤道处大小相等但符号相反，
即顶点处为 pa ，赤道上为 - pa ，
t
t
恒是拉应力，在顶点处达最大值为
变形后为一般椭圆形封头
pa
t 。
37
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2.2.4 无力矩理论的应用 二、储存液体的回转薄壳 与壳体受内压不同，壳壁上液柱静压力随液层深度变化。
8
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2.2 回转薄壳应力分析
3.2.1 薄壳圆筒的应力 1. 基本假设：
a.壳体材料连续、均匀、各向同性；
b.受载后的变形是弹性小变形； c.壳壁各层纤维在变形后互不挤压。
典型的薄壁圆筒如图2-1所示。
A
t


B


Di
p
p
BDi D Do

A

图2-1 薄壁圆筒在内压作用下的应力
F1
o'
O1 d d d
F2

d c. d
o c.
b. d d
o d.

F2
a. b d
o'
K1
2N在法线
d
上的分量

O1

2F2
a(c)
r o e.
b(d)
图2-5微元体的力平衡
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2.2.3 无力矩理论的基本方程 二、微元平衡方程（图2-5） 微体法线方向的力平衡
经线平面： 通过回转轴的平面。 经线： 经线平面与中面的交线,即OA＇
平行圆：
垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。
14
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中面法线：
过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与回转轴相交。
第一主曲率半径R1： 经线上点的曲率半径(K1B )。
第二主曲率半径R2： 等于考察点 B 到该点法线与回转轴交点 K2 之间长度（ K2B ）
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求解步骤：a.由 p 求轴向力 V b.由(2-4)式求得 c.将 代入(2-3)式求得
●无力矩理论的两个基本方程
微元平衡方程 区域平衡方程
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2.2 回转薄壳应力分析 2.2.4 无力矩理论的应用
◇分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力： 球形薄壳 承受气体内压的回转薄壳 薄壁圆筒
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结论:
a. 2 pR t
应用
(a)开椭圆孔时,应使短轴∥轴线。 (b)纵焊缝受 ,强度 ,薄弱,∴质量要求 (A类) b.变形后仍为圆筒壳
29
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C、锥形壳体
R1=
R2 xtg
式（2-5）、（2-6）
pR2 pxtg pr t t t cos pxtg pr 2t 2t cos
受力均匀且小。
所以大型储罐制成球形较经济。 b.变形后仍为球形。
27
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B、薄壁圆筒
薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为
R1=∞；R2=R
将R1、R2代入（2-5）和式（2-6）得：
pR pR , t 2t
（2-8）
2
薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍。 28
概念 壳体： 以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向 尺寸小得多的构件。 壳体中面： 与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。
薄壳： 壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）max≤1/10。 薄壁圆筒： 外直径与内直径的比值Do/Di≤1.2。 厚壁圆筒： 外直径与内直径的比值Do /Di≥1.2 。
锥形壳体
椭球形壳体 圆筒形壳体 球形壳体
24 无力矩理论的应用 一、承受气体内压的回转薄壳
回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生 rm 的轴向力V为：
V 2
0
prdr
2 rm p
prm pR2 V 由式（2-4）得： 2rm t cos 2t cos 2t
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
K1
O'
R1
K1 K2
x r
R1
R2
K2
θ
A'
A x y
R2
z
r O B

z
ξ
平行圆
经线
a.
图2-3 回转薄壳的几何要素
b.
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2.2.2 回转薄壳的无力矩理论
一、回转薄壳的几何要素 回转薄壳： 中面是由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转而成。 母线： 极点： 绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线,如OA 中面与回转轴的交点。
3
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本章主要内容
●2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施 ●2.4 平板应力分析
2.4.1 概述
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
tR2 sin dd tR1dd sin pR1 R2 sin dd