设正四面体为A-BCD.
作三角形BCD中,CD边的中线BE, BC边的中线DF. BE,DF相交于G,连接AG.
以下讨论AG的性质.
连接AE,AF. 由于BC垂直于AE, BC垂直于AF,
故BC垂直于平面ADF,(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这平面)
从而BC垂直于AG.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)
同理,CD垂直于AG,
即知AG垂直于平面BCD. 即AG是过三角形BCD的外心且垂直这三角形所在平面的直线.
故其上任何一点到三点BCD等距离. (1) 再者,平面ABE是二面角平面C-AB-D的平分面.即:二面角C-AB-E = E-AB-D 由此知,平面ABE上任何点到平面ABC 和平面ABD的距离相等.
同理:平面ADF是二面角平面C-AD-B的平分面.
知:平面ADF上任何点到平面ABD 和平面ACD的距离相等.
而AG在是上述两平面的交线,,
故AG上的任何点到,此到三平面ABC,ABD,ACD的距离相等(2)
同理,设三角形ADC的中心为H,连接BH, 则BH有相应的性质:
(1a)其上任意点到三点ADC的距离相等;
(2a)其上任意一点到三平面:BCD,BCA,BAD 距离相等..
AG, BH都在同一平面ABE中,设它们相交于O,则O点到四点:A,B,C,D距离相等,
且O点到四面ABC,ABD, BCD,ACD距离相等.
即O点既是外接球的中心,又是内切球的中心.
求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线!
即已知:直线a和直线b为异面直线
求证:它们有且只有一条公垂线
我问过很多同学和老师他们都写不出来...注意证明公垂线的存在性和唯一性! 存在性证明
过直线b作平面A平行于a，将a向A投影得a'交b于点p
过点p作直线c垂直于A
∵c⊥A
∴c⊥b且c⊥a'
∵a‖a'且c∩a'=p
∴c⊥a=p'
则c即为a,b公垂线
唯一性证明
假设公垂线不唯一，过b上任一点m作公垂线交a于n
∵mn⊥a a‖a'
∴mn⊥a'
又∵mn⊥b
∴mn⊥A
∵mn∩a=n且mn⊥a'
∴mn∩a'=n'
过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面
∴m=n'=p(三点重合)
得过点p有两条直线与A垂直,与定理(过平面上一点有且只有一条直线垂直于平面)矛盾,故假设不成立.唯一性得证.。