若从以上精确解中取前两项之和来近似计 算ym+1,由这种方法单独引进的附加误差通 常称作局部截断误差.
a
14
舍入误差
舍入误差与h成反比,若计算步长小，计 算次数就多,则舍入误差就大。
a
15
3.2 常用的几种数值积分法
建立系统数学模型的目的是研究系统的 运动规律
y f (t, y)
y
(t0
F(t,y)d
t
(2)
令 Q mttm m 1F(t,Y)dt
(3)
则 Y (tm 1 ) Y (tm ) Q m (4 )
或表示为 Y m 1 Y m Q m (5 )
a
10
数值解法
就是寻求初值问题式(1)的解在一系列离散点 t1,t2,,tm,tm1的近似解 Y1,Y2,,Ym,Ym （1即数值解）。
将上式写成差分方程 yn 1ynh(tfn,yn)
a
19
f(t) 误差
（b）矩形近似解法
f
y f (t, y)
近似矩形
y
(t
0
)
y0
在区间[tn,tn+1]上积分，得
0
tn
tn+1
t
y(tn1)y(tn)ttnn1 f(t,y)dt
于是 y ( tn 1 ) y ( tn ) h ( tn , fy n ) y n 1
2. 准确性：
最基本的准则是：
绝对误差准则：ey(tk)y ˆ(tk)y(tk)
3. 快速性相对系误统差时准间则间：隔—ey—(thkk)=tk+1yˆ-t(ktkyˆ)(tky)(tk)
计算每一步间隔——Tk 若hk＝ Tk ，——实时仿真 若Tk< hk ，——超实时仿真 若Tk>hk ，——离线仿真
第三章 连续系统数值积分 仿真方法学
3.1 离散化原理及要求
（1）离散化原理 （2）离散化建模方法的要求
a
2
（1）离散化原理
在数字计算机上对连续系统进行仿真时， 首先遇到的问题是：数字计算机的数值及时间 均具有离散性，而被仿真系统的数值及时间均 具有连续性，后者如何用前者来实现。
a. “数字”计算，引入舍入误差； b. 按指令一步一步进行，必须将时间
相邻两个离散点的间距 htm1tm
——称为计算步长或步距
常用的基本方法有三类：
单步法、多步法、预估－校正法。
并可分为显式公式和隐式公式。
a
11
单步法与多步法
单步法
只由前一时刻的数值 ym就可求得后一时刻 的数值ym+1
能自动启动
多步法
计算ym+1需要用到 tm,tm-1,tm-2,…时刻y的数 据
y y20, y(0)1
试用欧拉法求其数值解（取步长h=0.1，0≤t≤1）
解：原方程为：
y y2, f(t,y) y2
递推公式为： yn1 yn hf (tn , yn ) yn (1 0.1yn ) t0 0, y0 1 t1 0.1, y1 y0 (1 0.1y0 ) 0.9 t2 0.2, y2 y1(1 0.1y1) 0.819
即： eu(tk)u ˆ(tk) u (tk)0两模型等价。
ey(tk)y ˆ(tk)y(tk)0
a
5
u(t) 原连续模型yf(y,u,t) y(t)
－ey(tk ) 0
+
h
uˆ(tk )
仿真模型 yˆf(yˆ,uˆ,tk)
yˆ(tk )
图2.1 相 似 原理
a
6
（2）离散化建模方法的要求
1. 稳定性
)
y0
a
16
（一）单步法
a
17
（1）欧拉法（一阶龙格－库塔法）
Taylor级数展开 矩形近似解法 切线近似
a
18
（a)Taylor展开
y f (t, y)
y
(t
0
)
y0
假定 y(t)g(t,y) 为其解析解
将y(t)展开成Taylor级数
y(t h )y(t)y (t)h
从而 y (t h ) y (t) h(t,fy )
误差在10－2数量级
a
23
（2）改进的欧拉法（梯形法）
又称二阶龙格－库塔法 曲边梯形的面积
f(t) 误差 f
S 1ttn n 1f(t,y)d ty(tn 1)y(tn)
直边梯形的面积
S 2 1 2 h f ( t n ,y n ) f ( t n 1 ,y n 1 )0 tn
a
7
明确几个概念
a
8
差分方程
已知表示某系统一阶向量微分方程及初
值为：
Y F (t,Y ) Y (t0 ) Y0
对上式两边积分，则
t
Y(t)Y(t0)t0F(t,Y)dt
(1)
a
9
在 tt0,t1,,tm1时的连续解为：
Y(tm1)Y(t0)tt0m1F(t,Y)dt
Y(tm)
tm1 tm
不能自动启动
a
12
Hale Waihona Puke 显式与隐式显式计算 ym+1时所用数值均已计算出来
隐式
计算中隐含有未知量
预估－校正法
使用隐式公式时，需用另一显式公式估计 一个初值，然后再用隐式公式进行迭代运算。
a
13
截断误差
假设前一步得到的结果ym是准确的,则用泰勒级
数求得tm+1处的精确解为
y(tmh)y(tm)hy(tm)21!h2 y(tm) r1!hry(r)(tm)o(hr1)
t10 1.0, y10 y9 (1 0.1y9 ) 0.4628
a
22
已知方程的解析解为 y 1 1 t
精确解与数值解比较
t
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … 1.0
精确解y(t) 1 0.9091 0.8333 0.7692 0.6667 0.625 … 0.5
数值解yn 1 0.9 0.819 0.7519 0.6594 0.647 … 0.4628
tn+1
t
当h比较小时，以直边梯形代替曲边梯形的面积，可得
离散化。
a
3
连续系统仿真：
从时间、数值两个方面对原系统进行离散 化，并选择合适的数值计算方法来近似积 分运算，由此得到离散模型来近似原连续 模型。
a
4
相似原理
设系统模型为： yf(y,u,t)
仿真时间间隔为：h
离散后的输入变量：uˆ(tk ) 系统变量：y ˆ(tk)
其tk中 kh
如果： uˆ(tk)u(tk) yˆ(tk)y(tk)
yn1ynhnf
a
20
y
（c)切线近似 yn+1
(t1,y1)
y(t)
y(t)在tn处得切线方程为 yn (t0,y0)
yynf(tn,yn)t( tn)
t
则得
0
tn
tn+1
t
y ( tn 1 ) y ( tn ) h ( tn f ,y n ) y n 1
yn1ynhnf
a
21
例1 设系统方程为：