例5
2 y 求椭球体 x2 + 2 + z 2 ≤ 1 的体积. a b c 2
2
二、小结
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
∂( x, y) 1 2. J = = . ∂ ( u, v ) ∂ ( u, v ) ∂( x, y)
= 2∫
1
−1
1 − u 2 f ( u a 2 + b 2 + c )du ,其中 D 为
练习题答案
7 一、1、 ln 2 ； 3 1 二、 . 8
5 2、 π . 32
课堂练习 1. 计算
∫∫
D
2 2 其中 D : x + y ≤ 3. | x + y − 2 | dσ , 2 2
y ( x + y )2 e dσ , 其中 D 是由直线 2. 计算重积分 ∫∫ x+ y D x + y = 1, x = 0 和 y = 0 所围成.
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分: 1 、 ∫∫ x 2 y 2 dxdy , 其 中 D 是 由 两 条 双 曲 线 xy = 1 和 xy = 2 , 直线 y = x 和 y = 4 x 所围成的在第Ⅰ象限 的闭区域. 2 、 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy ,其中 D 是椭圆区域:
则有
∫∫ f ( x , y )dσ
D
= ∫∫
D′
∂( x, y) dudv . f [ x ( u, v ), y( u, v )] ∂ ( u, v )
这个公式称为二重积分的一般换元公式.
∂ ( x , y ) 其中记号dσ = dudv 表示曲线坐标下的 ∂ ( u, v )
一般曲线坐标系中二重积分的计算 面积微元.
x = x ( u, v )、 y = y ( u, v )
在 D′ 上有一阶连续偏导数, 且∂ ( x , y ) ∂u ∂v = ≠ 0, ∂ ( u , v ) ∂y ∂y ∂u ∂v
一般曲线坐标系中二重积分的计算
∂x ∂x ∂ ( x , y ) ∂u ∂v = ≠ 0, ∂ ( u , v ) ∂y ∂y ∂u ∂v
D
x 2 + 4 y 2 ≤ 1. 二、设 D 是由曲线 y = x 3 , y = 4 x 3 , x = y 3 , x = 4 y 3 所围 成的第Ⅰ象限部分的闭区域, 求其面积. 三、试证: ∫∫ f (ax + by + c )dxdy
D
D
x 2 + y 2 ≤ 1, 且a 2 + b 2 ≠ 0 .
∂ ( x , y ) 其中记号dσ = dudv 表示曲线坐标下的 ∂ ( u, v )
注: 对极坐标变换 x = r cos θ , y = r sin θ .因为
∂ ( x , y ) cos θ = ∂ ( r ,θ ) sin θ
所以
D D′
− r sin θ = r, r cos θ
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ .
第二节 二重积分的计算法
二重积分的一般变换
第九章
一般曲线坐标系中二重积分的计算 设函数 f ( x , y )在 xOy 平面上的闭区域 D上连续, 变换 x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 将 uOv平面上的闭区域 D′ 一一对应地变为 xOy 平面上的闭区域 D , 其中函数
一般地,如果区域 D 能用某种曲线坐标表示,使得 积分简单,就可以利用上述一般换元公式来化简 积分的计算.
例1 计算其中由轴、轴和直 D ∫∫ e dxdy,
D
y− x y+ x
x
y
y
2 x+ y= 线所围成的闭区域．
x+ y=2
D
o v
u = −v
x
v=2
D′
u=v
o
u
例2
xy = a , xy = 2a , y = x , y = 2 x ( x > 0, y > 0)
2 2
求曲线
所围平面图形的面积.
例3 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by y 2 = qx x2 = a y
y
D y 2 = px
O
b
v
D′
x
a O p
q u
例4
x2 y2 计算其中为 1 − 2 − 2 dxdy , ∫∫ a b D
D
x2 y2 椭圆所围成的闭区域． 1 + 2 = 2 a b