且对 x [a,b], 积分 d f ( x, y)dy 都存在, 则累次 c
积分
b
dx
d
f ( x, y)dy 也存在,
且
a
c
f ( x, y)d
b
dx
d
f ( x, y)dy.
D
a
c
d
A(x) c f (x, y)dy
4
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证明 I( x)
d
f ( x, y)dy,
d
I( x) c f ( x, y)dy, x [a,b].
如果函数 I( x) 也在[a,b]上可积, 则得积分
b
bd
a I( x)dx a (c f ( x, y)dy)dx .
此积分称为累次积分.
记为
b
d
dx f ( x, y)dy.
a
c
2
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类似理解 :
d
b
对 y [c,d], 积分 cb f ( x, y)dx 都存在. a
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例1 设 f ( x, y) 1 x y
计算 f ( x, y)d , 其中 D [0,1][0,1].
D
y
解 因为f (x, y)满足推论2.1 1
的条件, 所以
x y 1
f ( x, y)d
x [a,b].
c
对[a,b],[c,d ]的分割
x : a x0 x1 xn b,
y : c y0 y1 ym d ,
令 Ii [ xi1, xi ], i 1,,n, J j [ y j1, y j ], j 1,, m.
因此子矩形Ii J j形成了D的分割 x y
D {( x, y) | y1( x) y y2( x),a x b}
特点：穿过区域且平行于 y
y轴的直线与区域
y y2(x)
边界相交不多于两 个交点.
y y1( x)
a
bx
10
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Y型区域
D {( x, y) | x1( y) x x2( y),c y d }
令A fd 由定义， 0, 0,
D
当分割满足 时，有
nm
A
f (i , j )xiy j A . (1)
i1 j1
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5
现取 x , y
n
,则
2
n
在（1）中取
inf f (i , J j )y j
sup f (i , J j )y j
j1
j 1
D
[a,b][c,d ]
a
c
b
dx
y2( x) F ( x, y)dy
b
dx
y2( x) f ( x, y)dy.
a
y1 ( x )
a
y1 ( x )
14
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第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、矩形区域上的二重积分的计算
设 D [a,b][c,d ], f : D R, 如对 x [a,b],
函数 f ( x, ) 在[c,d ]上可积, 则可得如下函数：
矩形区域[a,b][c,d ] D, 作定义在[a,b][c,d ]
上的辅助函数
F
(
x,
y)
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
x, y), 0,
(x, y) D, (x, y) D.
可以验证F ( x, y)在[a,b][c,d ]上可积, 而且
f (x, y)d
F ( x, y)d
b
d
dx F ( x, y)dy
D
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定理2.2
设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上可积,
且对 y [c,d ], 积分 b f ( x, y)dx 都存在, 则累次 a
积分
d
dy
b
f ( x, y)dx 也存在,
且
c
a
f ( x, y)d
d
b
dy f ( x, y)dx.
1
dx
1
f ( x, y)dy
0
0
0
x 1x
D
1
1
而 0 f ( x, y)dy 0 (1 x y)dy
1
1
0 (1 x)dy 0 ydy
(1 x) 1 1 x
所以
f
( x,
y)d
2 1
(
12
x)dx
0.
D
02
9
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二、一般区域上的二重积分的计算
X 型区域
y
特点：穿过区域且平行于 d
x 轴的直线与区域
边界相交不多于两 c
x
个交点.
11
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一般区域
分解成有限个无公共
内点的X型区域 或
Y型区域.
D3 D1
D2
因此 一般区域上的二重积分计算问题归结到
X型区域 或 Y型区域上的二重积分计算问题.
12
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定理2.3 设f (x, y)在X型区域 D上连续, 其中 y1( x)
db
c dya f ( x, y)dx c (a f ( x, y)dx)dy .
问题 :
? f (x, y)d
D
b
d
a dxc f ( x, y)dy,
d
b
c dya f ( x, y)dx.
3
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定理2.1 设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上可积,
分别是f (i ,)在[c,d]上的上和与下和
n
inf f (i , J j )y j
j1
d c
f (i , y)dy
n
sup
j1
f (i , J j )y j
n
A I(i )xi A
i 1 n
lim
x 0
j1
I (i )xi
A
b
d
f ( x, y)d a dxc f ( x, y)dy.
D
c
a
证明 类似于定理1.
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推论2.1设f ( x, y)在矩形区域 D [a,b][c,d ]上连续,
则有
b
d
f ( x, y)d a dxc f ( x, y)dy
D
d
b
c dya f ( x, y)dx.
累次积分交换顺序的充分条件 :
f ( x, y)在 D上可积, 对 x [a,b], 积分 d f ( x, y)dy 都存在,
y2( x)在[a,b]上连续, 则
f ( x, y)d
b
dx
y2( x) f ( x, y)dy
D
a
y1 ( x )
y
分析 :
d y y2(x)
y y1( x)
c
a
F
(
x,
y)
f
(
x, y), 0,
(x, y) D, (x, y) D.
bx
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证 由于 y1( x), y2( x)在[a,b]上连续, 故总存在