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使用方法入门
（36）
阿基米德螺线与
三等分任意角
2016年6月16日
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。

★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？
★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧
直线y=cx=7x c=7
X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289
同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5
同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1
同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5
阿基米德螺线ρ=aθ
螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3
θ3= φ =1.4289
a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498
计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526
θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763
首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的
3个同心圆
半径为0.5、1、1.5
即同心圆的半径比为1:2:3
在同一帧图里
再画出与3 个同心圆相交的
阿基米德螺线
a=r3/atan(c)=1.0498
P3
P
2
P
1
P3的数据
X3=0.211
Y3=1.486
θ3=1.429（弧度）
=1.429×180/π=81.9°
r3=sqrt(X32 +y32)
=sqrt(0.2112
+1.4862)
=1.5
O
P 2的数据X 2=0.579Y 2=0.816
θ2=0.953（弧度）
=0.953×180/π=54.603°
r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(0.5792
+0.8162)=1P 2O
P 1的数据X 1=0.445Y 1=0.229
θ1=0.476（弧度）
=0.476×180/π=27.30°
r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.4452
+0.2292)=0.5
θ1 : θ2 : θ3 = 27.3 : 54.6 : 81.9= 1 : 2 : 3
P 1O
MultiPlot 画出的图形放大图的Table得不到数据
从以上的例子，可以得出用MathStudio演示借助阿基米德螺线三等分任意角的方法
1. 以角定直线
待三等分的角φ（以弧度为单位），X轴为底边，另一边为
y=tan(φ) * x 的直线
2. 以直线定同心圆
3个以极点为圆心的同心圆半径比=3 : 2 : 1
r 3 =φ
r 2 =2φ/3
r 1 =φ/3
3. 以圆定螺线ρ=aθ
a = r 3/φ=1
4. 螺线与3个同心圆相交于3点，过极点画出与此3点连线
三等分任意角φ完成
下面再看直线在第2、第4象限的2个例子
角φ的另一边在第2象限
三个同心圆的半径分别为1、2、3
阿基米德螺线a=1
P 3的数据
X 3=-2.979Y 3=0.405θ3=3（弧度）
=3×180/π=171.89°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(-2.9792 +0.4052)=3
P 3
O
P 2的数据
X 2=-0.833Y 2=1.819θ2=2（弧度）
=2×180/π=114.59°r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-0.8332 +1.8192)=2
P 2
O
P 1的数据
X 1=0.538Y 1=0.850θ1=1（弧度）
=1×180/π=57.30°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(0.5382 +0.852)=1
O
P 1
θ1 : θ2 : θ3 = 57.3 : 114.6 :
171.9= 1 : 2 : 3
角φ的另一边在第4象限
三个同心圆的半径分别为2、4、6
阿基米德螺线a=1
P 1的数据
X 1=-0.833Y 1=1.819θ1=2（弧度）
=2×180/π=114.59°r 1=sqrt(X 12 +y 12)=sqrt(-0.8332 + 1.8192)=2
O
P 1
P 2的数据
X 2=-2.593Y 2=-3.057θ2=4（弧度）
=4×180/π=229.18°
r 2=sqrt(X 22 +y 22)=sqrt(-2.5932 +-3.0572)=4
O
P 2
P 3的数据
X 3=5.774Y 3=-1.649θ3=6（弧度）
=6×180/π=343.77°r 3=sqrt(X 32 +y 32)=sqrt(5.7742 + -1.6492)=6
O
P 3
θ1 : θ2 : θ3
= 114.6 : 229.2 : 343.8
= 1 : 2 : 3
PolarPlot 同一帧图里阿基米德螺线a=1
3个同心圆半径比=1:2:3步长=2 0点起
左列数据为x 值
右列数据为y值
红色框内
第1行x1, y1
第2行x2, y2
第3行x3, y3
与前图对照，基本符合
阿基米德螺线
三等分任意角
程序清单
输入待三等分的角度φ=13π/17
=2.402弧度
=137.647°
θ1=0.81弧度=46.41°手指触屏取值有时误差偏大
θ2=1.61弧度=92.25°
θ3=2.401弧度=137.57°
根据前面的演示，可以确信：借助阿基米德螺线三等分任意角是可以实现的。

那么，这是否推翻了“尺规作图不可能三等分任意角”的定论呢？
没有！因为阿基米德螺线是不能只用尺规作出的
谢谢共享制作LNFSCSS
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2016年6月26日。