一、选择题
1．如图2－4－12所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝1
2BC ，则sin ∠
MCA ＝( )
图2－4－12
A.1
2 B.2
2 C.
3
2
D.
55
【解析】 由弦切角定理，得 ∠MCA ＝∠ABC .∵sin ∠ABC ＝AC AB
＝AC AC 2＋BC 2
＝
AC 5AC ＝5
5
，故选D. 【答案】 D
图2－4－13
2．如图2－4－13所示，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．2 3
D ．4
【解析】 连接BC .∵AB 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥BC ，由弦切角定理可知， ∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，
∴AC AD ＝AB AC
， ∴AC 2＝AB ·AD ＝6×2＝12， ∴AC ＝23，故选C. 【答案】 C
3．如图2－4－14，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )
图2－4－14
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．40°
【解析】 如图，连接OC ， ∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∵∠P ＝40°， ∴∠POC ＝50°， 连接BC ，∵OC ＝OB ， ∴∠B ＝1
2∠POC ＝25°，
∴∠ACP ＝∠B ＝25°.
【答案】 B
4．如图2－4－15所示，已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )
A ．65°
B．115°
C．65°或115°
D．130°或50°
图2－4－15
【解析】当点P在优弧BC上时，
由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABC＝∠BPC＝65°.
当P点在劣弧BC上时，∠BPC＝115°.
故选C.
【答案】 C
二、填空题
5．(2012·广东高考)
如图2－4－16所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
图2－4－16
【解析】利用弦切角定理及相似三角形求解．
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA＝∠ACB.
又∠PBA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠ACB，
∴△ABD ∽△ACB . ∴AB AC ＝AD AB
， ∴AB 2＝AD ·AC ＝mn ， ∴AB ＝mn . 【答案】
mn
6. 如图2－4－17，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝__________.
图2－4－17
【解析】 连接OC ，∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ，
∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2， ∴PC ＝23，∵OC ·PC ＝OP ·CD ， ∴CD ＝2×234＝ 3.
【答案】
3
三、解答题
7．如图2－4－18所示，△ABT 内接于⊙O ，过点T 的切线交AB 的延长线于点P ，∠APT 的平分线交BT 、AT 于C 、D .
求证：△CTD 为等腰三角形．
图2－4－18
【证明】 ∵PD 是∠APT 的平分线， ∴∠APD ＝∠DPT .
又∵PT 是圆的切线，∴∠BTP ＝∠A . 又∵∠TDC ＝∠A ＋∠APD ， ∠TCD ＝∠BTP ＋∠DPT ， ∴∠TDC ＝∠TCD ， ∴△CTD 为等腰三角形．
8．(2012·辽宁高考)如图2－4－19，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明：
图2－4－19
(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .
【证明】 (1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .
从而AC AD ＝AB
BD
，即AC ·BD ＝AD ·AB .
(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD . 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝AD
BD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .
综合(1)的结论知，AC ＝AE .
9．(2013·辽宁高考)如图2－4－20，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .
图2－4－20
证明：
(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .
【证明】 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB . 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；
又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π
2.
从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .
(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .
类似可证Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF 2＝AF ·BF ， 所以EF 2＝AD ·BC .
10．如图，△ABC 内接于圆O ，AB ＝AC ，直线MN 切圆O 于点C ，弦BD ∥MN ，AC 与BD 相交于点E .
(1)求证：△ABE ≌△ACD ； (2)若AB ＝6，BC ＝4，求AE .
【解】 (1)证明：由已知得∠ABE ＝∠ACD ，∠BAE ＝∠EDC ， 又∵BD ∥MN ，∴∠DCN ＝∠EDC ， ∴∠BAE ＝∠DCN .
又直线MN 切圆O 于点C ， ∴∠CAD ＝∠DCN . ∴∠CAD ＝∠BAE .
又AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD . (2)由于△ABE ≌△ACD ，则BE ＝CD ， 由(1)得∠CAD ＝∠BAE ，
∴BC ＝CD .∴BE ＝CD ＝4. 在△ABE 和△CDE 中，
∠BAE ＝∠EDC ，∠EBA ＝∠ECD ， ∴△ABE ∽△DCE .∴BE CE ＝AB
CD .
∴BE AC －AE ＝AB CD . ∴46－AE ＝64， 解得AE ＝10
3.。