边分法近似计算对数肖云霄四川省邻水中学1.背景：我们知道在高中数学教材必修一函数一章曾介绍过：）的等价代换”。

＞且（＝，则＝“若0a 1a log xb a b a x ≠即通过引入一个新的符号将指数位臵上的变量X 表示出来2.问题：随后在进行对对数函数性质深入的研究中，我们了解了它的一系列如定义域、值域、单调性等可以反馈对数函数图像具体性质的数学特点。

由单调性，我们知道了lg3大于lg2，但我们并不知道lg3≈？，lg2≈？因此，引入对数符号虽然可以很好地解决指数上变量的表示问题，但对于对数函数的实数值却犹如一座遥远的冰山，可望而不可即。

那么是否可以找到一种简便的计算方法来近似估算对数函数的实数值呢？f （x ）＝lnx ，那么有f ΄（x ）＝，f ΄΄（x ）＝。

因为f ΄΄（x ）＜0，所以f （x ）严格上凸，为凸函数。

由琴生不等式≥可得。

该不等式则很好地反映了函数图像上任意两点函数值的平均和中点函数值的大小关系。

那么我们在解决对数函数实数值的问题是否可以受琴声不等式的启发，从而利用两点函数值的平均来近似逼近中点函数值大小呢？6.证明：我们先研究x ∈N*时出现的情况。

首先我们对该想法进行误差分析：设在函数lnx 上任意两点的坐标分别为A （x1，lnx1），Bx 12x 1-2lnx lnx 2x x ln 2121+≥+）（＝＞0，ϕ（x ）严格下凸，为凹函数。

所以ϕ（x ）在x＞1的图像为：由上图，我们可以很直观的看到当x ＝1.36时ϕ（x ）就表现出急剧下滑的趋势，而当x ＝2左右时ϕ（x ）几乎下降到极限值1附近，而我们知道所研究的ϕ（x ）（x ＞1）仅仅是真数的一部分，但当x 已如此接近于定义域端点1时，ϕ（x ）就已趋近于1了，何况ϕ（x ）还要根式后才是完整的真数。

换言之，）（x ϕ将在x 极小时（相对于定义域起始端点）就已趋于1。

这个结果很好，表明此时真数将在x 很小时就已趋于1，因而g （x ）＝将在x 极小时就已趋近于0！而g （x ）表示的就是用直线上两点函数值的平均代替lnx 上的中点函数值的误差，即此时用所表现出的误差g （x ）将在x 极小时就已趋近于0了，所以在精度一定时，对于lnx 用两点的平均值是完全等价于中点函数值的，并且随着x 的取值增大误差将会无限接近于0！因而在误差较小范围内，这完全和我们[]321x 1-x 2x 6））（（++）））（（（1x 1-x 11ln ++1x x 1x x 21+-＝，＝最开始所设想的lnx 上的线性回归模型刚好吻合。

下面我用图像便于大家更加直观理解：由图像大家可以大致清晰地看到在（即x2＝x1+2）的前提下，两点的中点值随着x 的增大会无限贴近lnx 上的中点值。

即此时我们所建立的直线模型很好地契合进了lnx ，于是我们称它为lnx 的线性回归。

论证到这里我们先小结一下已推理出的结论，便于推广至一般形式。

小结：因为lnx 的增长极其缓慢，所以可建立lnx 的线性回归模型，即在精度一定范围内，可以利用直线上两点的中点函数值的平均来代1x x 1x x 21+-＝，＝替lnx上中点的函数值，称为“边分法”。

7.关于边分法思想的两点说明：①转化：利用边分法，可以将lnx（x ∈N*）上的函数值转化为直线上两点的中点函数值，从而将无法触及的“冰山”变为可攀登的高山。

具体说：（1）如若所求点是合数，则可以将其表示为多个质因子相乘，从而将合数拆分为了质数。

（其理论依据为：正整数的因式分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。

根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。

只有一个质因子的正整数为质数）。

（2）如若该数为质数则利用对数函数的线性回归模型，即用边分法将该数向左右两边各拓展一个单位长度后，相邻两数则回到了偶数上，则再次重复（1）步骤。

（其理论依据为，若有一个数为质数，则其必为奇数；如果一个数为奇数，则其相邻两数必为偶数。

）②化归：将质数转化，将合数化归。

由于合数是有多个质因子组合而成，那么可以通过将合数无限下分，直至其完全化归为多个基数相加（基数指真数为10以内较小质数的对数，如ln2，ln3等），也可以进一步再将基数转化为只剩ln2，而ln2＝0.69314718056，根据精度要求取舍位数（如保留一位小数就取ln2＝0.7，保留两位小数就取ln2＝0.693）。

简言之，运用边分法可以将真数上的质数转化为相邻偶数，将偶数化归为多个基数，通过计算基数的和从而代近似逼近原函数的值。

其数学表达形式为（lnx＝aln2＋bln3＋cln5＋……＝Yln2）8.关于使用边分法近似计算对数函数实数值的两点注意：（1）由于本身我们采用的是用直线上两点的中点函数值的平均来近似代替lnx 上中点的函数值，所以用边分法算出的实数值若刚好整除，则就原封不动地保留该值，而不必再次四舍五入估算。

因为边分法本身定义为估算，若得出的实数值又再次估算，那么就有可能扩大误差（类似物理学上游标卡尺的使用原则）。

如计算ln7的实数值：95.129.321.147.023ln2ln3ln228ln ln6ln7＝＝＝+⨯≈+++≈，而由计算器算出ln7＝1.94591≈1.95.所以用边分法计算出的实数值结果若整除则直接保留。

若结果并不整除，那么就根据四舍五入波动最小原理进行合理选取位数。

（2）为什么我要定义真数为10以内较小质数的对数作为对数函数的基数？因为由上图可知误差g （x ）在x ＝2时，g （2）等于1.33，但并不完全等于1，只是说很接近，如若对于精度要求很高，具体说是要求在两位小数即以上时，必须至少要记忆多组基数相应保留位数的值。

如果对于精度要求不高，如高考中遇到了涉及对数函数和实数比较大小的问题，则只需一位即可，那么根据四舍五入的保留原则，在x ＞1的前提下，边分法是完全适用于计算对数函数实数值的，且这时只需记忆ln2＝0.7即可。

如计算ln3，由边分法可得，ln3≈22ln 322ln 2ln22ln42ln ＝＝++，带入ln2＝0.7，根据四舍五入保留一位小数的原则可得ln3≈1.1，而由计算器算出ln3＝1.09861228866≈1.1.所以凭借边分法在只记忆ln2＝0.7为前提下就可以自己推出所有基数的值（ln3＝1.1，ln5＝1.6等等）再比如计算ln177，由边分法可得，由计算器算得ln177＝5.2。

但如若我们在时就代入基数中的ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6。

就可以得到ln177＝5.2，此结果与计算器算得的ln177在保留一位小数的前提下完全吻合。

所以从这个例子我们可以看出若知道多组基数值后不仅可以简便运算还可以大大缩小误差，进而达到真正意义上的逼近！9.反思：为什么边分法可以较为准确地逼近对数函数的实数值？为什么经历过多次转化与化归后所求出的实数值依然贴近真实值？深思后，我想这与对数函数性质完全吻合。

下面我从四个方面来说明这个问题：（1）定义：若有两个实数相乘，通过引入一个新的数学符号即取对数，那么就可以将数的相乘转化为数的相加。

由相乘变相加，从定义上简化了计算量。

（2）运算法则：我们知道在误差分析学中，数的相乘除比数的相加减带来的误差会更大，因为相乘时误差是相互依赖影响的，误差会跟其余数相乘，以致误差被扩大；而数的相加中误差是独立的，仅是误差+误差，不会与其余实数相互影响。

所以对数的运算法则把数的相乘变相加，从运算的本质上减少了误差。

（3）函数图像：我们知道对数函数的二阶导数为2x1-，其大小在x 14.5327.0235322ln 23587ln3ln552ln 37225ln 2ln 3ln 211ln 2ln 33ln ln225ln 2ln 2ln 52290ln 88ln 212ln 10ln 2ln 5289ln 2ln 11ln 2ln 42892ln 112ln 2178ln 176ln 177ln 4＝＝＝＋＋＋＝）（）（＝⨯≈≈++++++++++++++≈+⨯+⨯+≈83ln 75ln 52ln 37++＞1内变化极其小，比如x ＝2到x ＝3，△x ＝1，但△f ΄΄（x ）＝365≈0.139.所以对数函数的增长极其缓慢，在一定程度内，函数上某三个相邻整数点相连便可近似地看作为一条直线。

（4）计算方法：因为边分法的本质是用两边函数值的平均来近似逼近中点函数值。

由于有平均存在，所以误差的和再除以2后，边分法近似逼近造成的误差又再次缩小了。

10.应用：（1）直接比较大小。

例1：（2017•新课标Ⅰ）设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则（ ）A ．2x ＜3y ＜5zB ．5z ＜2x ＜3yC ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z例2：试比较的大小和5.17.132--。

解：因为两数均大于0，所以同时取e 的自然对数ln ，原式便可等价于比较-1.7ln2和-1.5ln3，带入ln2＝0.7，ln3＝1.1可得到-11.9＞-16.5。

所以5.17.132--＞。

经计算器检验，结果正确。

例3：分析：在这种高次幂的指数函数中，如果我们还是运用原有的高中数学理论而且在无法用计算器的前提下是很难确定大小关系的。

而对于ZX Y M Z M Y M X Z Y X M M M MM M M Z 52332.05ln 35.02ln 37.03ln 6.15ln 1.13ln 7.02ln 5ln 515ln 3ln 313ln ln2212ln 5ln ln log 53ln ln log 32ln ln log 2.log log log 532535355332532Y X 53＜＜＝＞＝＞带入，迅速可得到＝，＝，＝将＝，＝，＝＝＝，＝＝，＝＝＝，＝，＝，＝＝＝∵∴≈∴∴的大小关系与试比较21304753,2高次幂，取对数是最好的方法，因为对数可以将数的次幂转化为数的相乘，这种方法在天文学计算中更为常用。

因为三数均大于0，所以可对三数取e 的自然对数，原命题便等价于比较47ln2，30ln3与21ln5的大小关系，带入ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6可得47ln2＝32.9，30ln3＝33.0,21×ln5＝33.6.所以473021235＞＞。

经计算器直接检验：521＝4.79×1014，330＝2.06×1014 247＝1.41×1014，所以结果正确。

（2）判断涉及对数函数导数的正负号。

即通过具体算出对数函数的实数值并参与实数运算从而判断某点导数是大于0还是小于0，或则用于缩小零点区间。