对数
目录
对数的概念
定义
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质
如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么：
1、a^log(a)(b)=b
2、log(a)(a)=1
3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
第5条的公式写法
5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6、log(a)[M^（1/n）]=log(a)(M)/n
（注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）
推导
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b
令t=a^b
所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
令b=1，则1=log(a)(a)
3、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
4、与（3）类似处理
M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
由指数的性质
a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
5、与（3）类似处理
M^n=M^n
由基本性质1(换掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] =
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性质及推导完）
函数图象
1.对数函数的图象都过(1,0)点.
2.对于y=log(a)(n)函数,
①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.
②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的减小,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.
3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
其他性质
性质一：换底公式
log(a)(N)=log(b){N}/log(b){a}
推导如下：
N = a^[log(a){N}]
a = b^[log(b){a}]
综合两式可得
N = {b^[log(b){a}]}^[log(a){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]} 又因为N=b^[log(b){N}]
所以 b^[log(b){N}] = b^{[log(a){N}]*[log(b){a}]}
所以 log(b){N} = [log(a){N}]*[log(b){a}]...... [这步不明白或有疑问看上面的]
所以log(a){N}=log(b){N} / log(b){a}
公式二：log(a){b}=1/log(b){a}
证明如下：
由换底公式 log(a){b}=log(b){b}/log(b){a} ----取以b为底的对数log(a){b}=1 =1/log(b){a} 还可变形得: log(a){b}×log(b){a}=1 在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进制整数或小数的对数。
例如lg10=1,
lg100=lg10^2=2, lg4000=lg（10^3×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。
在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。
简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。
历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。
但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。
141以内自然对数表。