大学生数学竞赛训练四—级数
一、（20分）设()2
101n
n x f x x n
∞
==≤≤∑
1）证明：()()()()2
1ln ln 1016
f x f x x x x π+-+-=≤≤
2）计算1
011ln 2dx x x
-⎰
证明：1）设()()()()1ln ln 1F x f x f x x x =+-+-，因为
()()()1
111
1ln 1ln 1n n n n x x x x
F x n n x
x
--∞
∞==--'=-+
-
-∑
∑ ()()
()()()
()1
11
1
111ln 111
ln 11n
n n n
n n x x x x
x n x n
x
x
--∞
∞
==-------=
+
+
-
--∑∑ ()()ln 1ln 1ln ln 0,0111x x x x
x x x x x
--=-
+
+-=<<--
所以，当01x ≤≤时，()F x 为常数，即有
()()()2
21
1116n F x F f n π∞
=====∑
（注意这里利用了极限()()()211112
1ln 1ln 1lim ln ln 1lim lim lim 0111
1ln ln x x x x x x x x x x x x x ----→→→→-
---====--
）
2）()()1110222ln 2ln 1ln 2112ln 12t x t t dx dt dt x x t t =-⎛⎫⎛
⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰ ()
1
11
12
22
22221
11111112ln 2ln 2ln 222n
n n n n n n n n t t dt dt t n n n n
--∞∞∞∞====⎛⎫
-- ⎪⎝⎭=-+=--=--+∑∑∑∑⎰⎰ 2
2
2
211ln 2ln 262122
f ππ
⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭。

二、（15分）设()f x 在点0x =的一个邻域内有连续导数，且()0
lim
0x f x a x
→=>。

证明：级
数()
1
11n
n f n ∞
=⎛⎫
- ⎪⎝⎭∑收敛，但级数11n f n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑发散。

证明：因为()()0
lim lim
0x x f x f x x x
→→==，
由连续性可得()()()()0
000,0lim 0
x f x f f f a x →-'===-，
由导数的连续性可得存在0x =的一个邻域内()0f x k '>>，这就说明当n 充分大时，数列
1f n ⎧⎫
⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是递减的，并且1lim 0n f n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，由莱布尼茨判别法可得，级数()1
11n n f n ∞
=⎛⎫
- ⎪⎝⎭∑收敛； 由()()0,f f x 单调增可得，级数11n f n ∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是正项级数，对函数()f x 在区间10,n ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦运用拉
格朗日中值定理，存在10,n ξ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭有
()()110f f f f n n n ξ'⎛⎫⎛⎫
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
当n 充分大时有1k
f n n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，因为级数1n k n
∞=∑发散，由比较判别法，级数11n f n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑
发散。

三、（15分）求级数()()()
121
123n n n n n ∞
=++++∑
的和。

解：因为()()()()()()()
15
21221231223n n n n n n n n -
+=+
+++++++ 111511212223n n n n ⎛⎫⎛⎫
=--+- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
所以(
)()()12111517
123222312n n n n n ∞
=+=-⨯+⨯=+++∑。

四、（15分）设()f x 是以2π为周期的连续函数，0,,,1,2,n n a a b n =是()f x 的傅里叶
系数，证明贝塞尔不等式
()()22
22
011
2n n n a f x dx a b π
π
π
∞
-
=≥++∑⎰
证明：因为()()01cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==
++∑，设()01
cos sin 2n k k k a S a kx b kx ∞
==++∑，则有 ()()()()()()()2
22
1
1
1
1
02
n n n
f x S x dx f x dx f x S x dx S x dx π
π
π
π
π
π
π
πππππ
-
-
-
-
≤
-=
-+
⎰⎰⎰⎰
()()()22
2
222
200
111
22n
n k
k
k k k k a f x dx a a b a b π
π
π
-
===
--++++∑∑⎰
以上利用了1,cos ,sin ,,cos ,sin ,x x nx nx 是正交系，所以
()()22
2
2011
2n k k k a f x dx a b π
π
π
-
=≥++∑⎰()()()222
2222
00111
lim 22n k k n n n k n a a f x dx a b a b π
π
π
∞
-
→∞==⎡⎤≥++=++⎢⎥⎣⎦∑∑⎰ 五、（20分）已知()20
3!n
n n n f x x n ∞
=+-=∑，求()f x 与x 轴所围成图形的面积。

解：()()()()200210123323!!2!1!!
n n n n
n n n n n n n n n n n x f x x x x x n n n n n ∞
∞∞∞∞
=====-+-+--===++--∑∑∑∑∑ ()
223x x x e =+-
简单计算可得()0f x =仅有两个解3,1x x =-=，并且当31x -<<时，()0f x <，所以所求面积为
()1
1
223
3
3
6
2332x x x
S x x e dx x e e e e --⎡⎤=-+-=-+=+
⎣⎦⎰ 六、（15
分）判断级数1n ∞
=⎛∑的敛散性。

2
21111ln 1ο⎛⎫⎛⎫
-++ ⎪ ⎪==
ο=<+
由比较判别法可得，级
数
n ο∞
=+收敛，再用比较判别法可得级
数1n ∞
=⎛∑收敛。