沙城中学补习班数学第一轮复习教案 编录：刘世亮第62 讲空间的角1.空间角的计算步骤一作、二证、三算.2.异面直线所成角：（1）范围：(]0,90︒︒；（2）计算方法:①平移法：②向量法：设,a b r r分别为异面直线,a b 的方向向量,则两异面直线所成的角α=arccosa b a buu r u u r uu r u u r g g ；③补形法；④证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒. 3直线与平面所成的角：①定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，若垂直于平面，所成角是直角.②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：（1）直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质；（2）通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离d ，计算这点与斜足之间的线段长l ，则sin dl θ=.（3） 12cos cos cos θθθ=.（4）向量法：设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角θarcsinl n l n=r r g r r g .4.二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为0，当两个半平面合成一个平面时，二面角为π，因此，二面角的大小范围为[]0,π.②确定二面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线定理及其逆定理法；（3）垂面法；（4）射影面积法：cos S S θ=射影多边形原多边形，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法（1）、（2）计算大小；（5）向量法：法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，则二面角l αβ-- 的平面角αarccosa ba b=ur u r u r u r g g ；或 arccos a ba bπ-ur u r ur u r g g （同等异补）法二、设1n ,2n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角l αβ--的平面角α1212arccos n n n n =uu r uu ruu r uur g g课前练习1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是 （ BA .45B .60C .75D .902.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC =a ，则异面直线AB 与CD 的距离是（CA .2aB .aC .a 22 D .a 6303.AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB =BC .求AD 与平面ABC 所成角的大小.（45°）例1如图所示，过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，设PA =AB =a ，求:1）二面角B —PC —D 2）平面PAB 和平面PCD 所成二面角的大小.解 （1）∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊥AC ，∴BD ⊥PC在平面PBC 内，作BE ⊥PC ，E 为垂足，连结DE ，得PC ⊥平面BED从而DE ⊥PC ，即∠BED 是二面角B —PC —D 的平面角. 在Rt △PAB 中，由PA =AB =a ，得PB =2a .PA ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB∴BC ⊥PBPC =aBC PB 322=+在Rt △PBC 中，BE =.3632a a a a PC BC PB =⋅=⋅同理DE =a 36.在△BDEcos ∠BED ==⋅-+DE BE BD DE BE 222221322232322222-=⋅-+a a a a.∴∠BED =120°，即二面角B —PC —D 的大小为120°. （2）过P 作PQ ∥AB ，则PQ ⊂平面PAB .AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，PQ ⊂平面PCD.∵PA ⊥AB ，∴PA ⊥PQ PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD.∴CD ⊥PD 即QP ⊥PDAPD∵PA =AD =a ,PA ⊥ADAPD =45面角的大小为45°.例2（2008·重庆理，19）如图所示，在△ABC 中，B =90°,AC =215,D 、E 两点分别在AB 、AC 上，使ECAE DB AD ==2， DE =3.现将△ABC 沿DE 折成直二面角.1）异面直线AD 与BC 的距离；（2）二面角A —EC —B 的大小。

解 方法一 （1）在图（1）中，因ECAEDB AD =DE ∥BC .B =90°,从而AD ⊥DE . 在图(2)中,因二面角A —DE —B 是直二面角,AD ⊥DE ,故AD ⊥底面DBCE ,从而AD ⊥DB .而DB ⊥BC ,故DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线.DB 的长,在图(1)中,由ECAE DBAD ==2,得32==ABAD EBDE.又已知DE =3,从而BC =23DE =29.AB =222229215⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-BC AC=6.因为31=AB DB ,所以DB =2.AD 与BC 的距离为2.(2)在图(2)中,过D 作DF ⊥CE ,交CE 的延长线于点F ,连接AF ,由(1)知,AD ⊥底面DBCE .由三垂线定理知AF ⊥FC ,AFD为二面角A —EC —B 的平面角.在底面DBCF 中,∠DEF =∠BCE ,DB =2,EC =25215·31=因此sin ∠BCE =54=EC DB ,从而在Rt △DFE 中，DE=3DF =DE sin ∠DEF =DE sin ∠BCE =3·51254=.Rt △AFD 中，AD =4，tan ∠AFD =35=DF AD. 因此所求二面角A —EC —B 的大小为arctan 35. 方法二 （1）同方法一.图(2)图（1）（2）由（1）可知，以D 点为坐标原点，DA 、DE 、DB的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图（3），则D （0，0，0），A （0，0，4），C ⎪⎭⎫⎝⎛0292，，，E （0，3，0），CE =（-2，-23，0），AD =（0，0，-4），过D 作DF ⊥CE ，交CE 的延长线于点F ，连接AF. 设F （x 0，y 0，0），从而DF =（x 0，y 0，0）.EF =（x 0，y 0-3，0）.由DF ⊥CECE DF ·=0，即2x 0+23y 0=0.又由CE ∥EF ，得23200-=y x.联立①,②,解得x 0=-2536,y 0=2548, 即F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2548,2536,得⎪⎭⎫⎝⎛--=4,2548,2536AF.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2536·CE AF ·（-2）+2548·⎪⎭⎫⎝⎛-23=0故AF ⊥CE .又因为DF ⊥CEDFA 为所求的二面角A —EC —B 的平面角.因为⎪⎭⎫⎝⎛-=025482536，，DF所以||51225482536||22AD ，DF =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==4tan ∠AFD .35=因此所求二面角A —EC —B 的大小为arctan35. 例3（2008·海南理，18）如图所示，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上,∠PDA =60°. (1)求DP 与CC ′所成角的大小;(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小.解 如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D —xyz. 则DA =（1，0，0），'CC =(0,0,1).连接BD ,B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中,DP 交B ′D ′于H .设DH =(m ,m ,1)(m ＞0),由已知〈DH ,DA 〉=60°,由DA ·DH =|DA ||DH |cos 〈DH ,DA 〉,可得2m =122+m.解得m =22,所以DH =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,22,22. (1)因为cos 〈DH ,'CC 〉=,222111022022=⨯⨯+⨯+⨯DH ,'CC 〉=45°,即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC=(0,1,0).图（3）因为cos 〈DH ,DC 〉=212101122022=⨯⨯+⨯+⨯,所以〈DH ,DC 〉=60°,DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.例4如图所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，AD =8.BC 是⊙O 的直径，AB =AC =6，OE ∥AD .（1）求二面角B -AD -F（2）求直线BD 与EF 所成的角的余弦值.解 （1）∵AD∴AD ⊥AB ，AD ⊥AF故∠BAF 是二面角B —AD —F 的平面角.依题意可知，四边形ABFC∴∠BAF =45°.即二面角B —AD —F 的大小为45°;（2）以O 为原点，CB 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示）， 则O （0，0，0），A （0，-32，0B （32，0，0），D （0，-32，8E （0，0，8），F （0，32，0∴BD =（-32，-32，8EF =（0，32，-8）.cos 〈BD ,EF 〉.10828210064180-=⨯--=设异面直线BD 与EF 所成角为αcos α=|cos 〈EF BD ,〉|=1082. 即直线BD 与EF 所成的角的余弦值为1082.。