若X服从两点分布，则DX p(1 p)
若X ~ B(n, p)，则DX np(1 p)
题型一 求离散型随机变量的方差
袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的 有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球， ξ 表示所取球的标号．
(1)求 ξ 的分布列、均值和方差； (2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值．
课堂练习 书本第68页
1、已知随机变量X的分布列
X01234 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX．
解：EX 00.110.2 20.4 30.2 40.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
人教A版选修2-3 第二章
2.3.2 离散型随机变量的方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
E X x1 p1 x2 p2 L xi pi L xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 2、数学期望的性质
0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：EX1 1400, EX 2 1400 DX1 40000, DX 2 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下， 如果认为自己能力很强，应选择工资方差大 的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强， 就应选择工资方差小的单位，即甲单位。
X DX 1.2 1.095
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求EX和DX。
解：离散型随机变量X的分布列为：
Xc P1
单点分布
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
二．随机变量方差的性质
你能证明下面结论吗？
D(aX b) a2DX
三．特殊分布列的方差
练习册 第36页
练习 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率 分布直方图,如图:
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量 相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100 个且另1天的日销售量低于50个的概率; (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求 随机变量X的分布列,期望及方差.
【解】 (1)由题意得，ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，P(ξ
＝0)＝1200＝12，P(ξ＝1)＝210，P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝230，
P(ξ＝4)＝240＝15.
故 ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3 4
P
1 2
1 20
1 10
3 20
1 5
所以 E(ξ)＝0×12＋1×210＋2×110＋3×230＋4×15＝1.5，D(ξ) ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×210＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×230 ＋(4－1.5)2×15＝2.75.
(2)由 D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＝11，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1，及 E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75 得，2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得 a＝2， b＝－2 或 a＝－2，b＝4.
利用公式 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，将求 E(aX＋b)，D(aX＋b)的问题转化为求 E(X)，D(X)的问题，从而 可以避免求 aX＋b 的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者 之间的关系列出等式，进行相关计算．
题型二 方差的实际应用
例2 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下 信息：
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400
获得相应职位的概率P1
0.4 0.3
1600 1800 0.2 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200
获得相应职位的概率P2
0.4 0.3
E(aX b) aE X b
3 特殊分布列的数学期望
（1）X服从两点分布，则
X
1
P
p
则 EX p
0 1－p
（2）X服从二项分布，即X～B（n,p），则
EX np
一．离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
题型二 特殊分布列的均值与方差
1、已知X～B(n, p)，EX 8,DX 1.6, 则n 10, p 0.8
2、有一批数量很大的商品，其中次品占 1％，现从中任意地连续取出200件商品， 设其次品数为X，求EX和DX。
2，1.98
例3. 如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单 位:吨)的频率分布直方图. (1)求直方图中x的值； (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放 回抽样),求月均用水量在3~4吨的居民数X的分布列和数学期 望及其方差.
则称
DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。
i 1
称 X
DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的 平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏 离于均值的平均程度越小，即越集中于均值．