离散型随机变量的方差（一）
白河一中 邓启超
教学目标：
1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2、过程与方法：会利用离散型随机变量的均值（期望）和方差对所给信息进行整合和分析，得出相应结论。
3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入：
1..数学期望
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．
2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，也称为随机变量的均值。
3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(
4、常见特殊分布的变量的均值（期望）
（1）如果随机变量X 服从二项分布（包括两点分布），即X ～ B （n,p ），则 E ξ=np
（2）如果随机变量X 服从超几何分布，即X ～H （N ，M ，n ）,则
E ξ= N
M
n
（二）、讲解新课：
1、(探究1):A ，B 两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差”分别为X ，Y （单位：
S ），X
A 型手表
B 型手表
np
EX =
问题：（1）分别计算X,Y 的均值，并进行比较；
（2）这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同
分析：ＥＸ＝ＥＹ，也就是说这两种表的平均日走时误差都是０. 因此，仅仅根据平均误差，不能判断出哪一种品牌的表更好。
进一步观察，发现Ａ品牌表的误差只有01.0±而Ｂ品牌的误差为±0.05 结论：Ａ品牌的表要好一些。
探究（2）：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列
2 8 9 10
0.4 0.2 0.4
分析：
甲和乙射击环数均值相等，甲的极差为2，乙的极差也为2，该如何比较？ 思考：怎样定量刻画随机变量的取值与其均值的偏离程度呢？ 样本方差：
类似的，随机变量X 的方差：
222221)(......)......()()(EX X EX X EX X EX X DX n i -+-+-+-=
=2)(EX X E i -
思考：离散型随机变量的期望、方差与样本的期望、方差的区别和联系是什
9
,921==EX EX ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-++-+-=---2
n 22212)x (x )x (x )x (x n 1s ...n
1)x (x n 1)x (x n 1)x (x s 2n
22212∙
-++∙-+∙-=---...
标
差
（三）、例题分析
例1(课本P61例3)、掷一颗质地均匀的骰子，求向上一面的点数X 的均值、方差。
例2（探究2）：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
2 8 9 10
0.4 0.2 0.4
分析：
甲和乙射击环数均值相等，甲的极差为2，乙的极差也为2，该如何比较？ 思考：怎样定量刻画随机变量的取值与其均值的偏离程度呢？ 通过均值和方差的分别比较，得出结论：乙的射击成绩稳定性较好 变式１：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 变式２：如果其他对手的射击成绩都在7环左右，应派哪一名选手参赛？
例3其中，a,b,c 成等差数列，若3
=EX ，则=DX （四）、基础训练
1
求EX ，DX 。
解： 2：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
9
,921==EX EX 21.042.034.022.011.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX 2
.11.0)24(2.0)23(4.0)22(2.0)21(1.0)20(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=DX
2 8 9 10 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10
环。
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ 问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 3
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,
DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ;
EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,
DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .
因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，
乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位
（五）、课堂小结
9,921==EX ：EX 解8.0,4.021==DX DX
随机变量X 的方差：
222221)(......)......()()(ζζζζζE X E X E X E X D n i -+-+-+-=
=2)(ζE X E i -
其中，=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 则(x i -E ζ)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 D ζ 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。
我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。
（六）、作业设计
1．已知某一随机变量ξ的概
率分布列如下，且E ξ＝6.3，
（1）计算a ，b 的值；（2）求E ξ，D ξ。
2．编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ.
(1)求随机变量ξ的概率分布；
(2)求随机变量ξ的数学期望和方差．
∑=-=n
i i
i p E x 12)(ζ。