方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。
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在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
y
f x
f
x0
df dx
1 d2f
xx0 x x0 2! dx2
xx0 x x0 2
具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法相似。
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二、 非线性数学模型的线性化
消去中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式， 并整理为标准形式
• 对复杂控制系统，直接采用这种方式推导微分方程 非常繁琐 • 为克服这个困难，人们提出了用传递函数描述系统 的方法，由此发展得出一系列方法。我们后面讲述。
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二、 非线性数学模型的线性化
• 严格讲，任何实际系统都存在不同程度的 非线性。
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二、 非线性数学模型的线性化
• 当系统工作变化范围 较大时，用上述方法 例：设
A
d2x dt 2
B
dx dt
( dx)3 dt
x
x2
u
建立数学模型引起的 这是一个非线性微分方程，如果u可以
•
误差较大。 在一定条件下可以通
任意设计，我们可取u ( dx)3 x2 dt
过反馈设计控制量把 非线性项影响抵消，
质量-弹簧-阻尼系统应用场合 汽车减震系统、加速度计测量
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( 一)典型对象（环节）的微分方程 2、质量－弹簧－阻尼系统
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由牛顿力学定律
F Ma
弹性力： F1 ky 阻尼力： F2 fv
v
dy dt
,a
d2y dt2
F(t) ky
f
dy dt
M
d2y dt2
大型车床
车床
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轧钢
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(一)典型对象（环节）的微分方程
3、直流电动机
基
于
图
像
的
机
器
伺服电机
人
伺
服
系
磁盘驱动器
统
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(一)典型对象（环节）的微分方程 3、直流电动机
为了简化分析，通常假设：
(1) 电机磁路不饱和，且有：
C f I f 常数
(2) 电机转矩M与及电枢电流ia成正比：
线性性质 Lf1(t) f2(t) F1(s) F2(s)
初值定理 终值定理
微分定理
f (0 ) lim sF (s) s
f () lim sF (s) s0
L
d dt
f (t)
sF (s)
f (0),
L
d2 dt2
f
(t)
s2F
(s)
sf
(0)
f (0)
延迟定理 L f (t )1(t ) esF (s)
M
d2y dt2
f
dy dt
ky
F (t)
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(一)典型对象（环节）的微分方程 3、直流电动机(D.C. motor)
直流电动机
动力类 （被控对象）
伺服类 （执行环节）
直流电动机在轧钢机、金属切 削机床、机器人、磁盘驱动器 等获得广泛应用
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(一)典型对象（环节）的微分方程
3、直流电动机
0
0
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(t) 1
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三、线性系统的传递函数
常见函数的Laplace变换
(t) 1
1(t) 1 s
t（1 t)
1 s2
1 2
t 21(t)
1 s3
et（1 t) 1
s
s in t
1(t)
s2
2
cost
1(t)
s2
s
2
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三、线性系统的传递函数
Laplace变换基本定理
Ce
Cmia
(Ra La p)ia Ce ua Cmia Jp M L
求解算子方程
有
Ra La p Cm
Ce Jp
Jp(Ra La p) CmCe
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2
Ra
La p Cm
ua ML
M L (Ra La p) Cmua
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(一)典型对象（环节）的微分方程 3、直流电动机
卷积定理 L f (t) g(t) F(s)G(s)
f (t) g(t) f ( )g(t )d
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三、线性系统的传递函数
用Laplace变换解微分方程
T dy y r dt y(0) 0
(rt) 1(t)
方程两边进行Laplace 变换（零初始条件） TsY (s) Y (s) R(s)
• 对于非线性数学模型的处理，可采用 1）忽略不计 取常值 2）平衡点附近的小偏差线性化方法（或 称切线法） 3）反馈线性化法
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在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在 A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒
级数展开
由数学关系可知，当Δx 很小时，可用A处的切线
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三、线性系统的传递函数
2、传递函数的定义
传递函数
输出拉氏变换 输入拉氏变换
零状态
即零初始条件下
G(s) C(s) R(s)
什么是零初始条件？ c(0 ) 0 c' (0 ) 0 ，c(n1) (0 ) 0
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例： LC
d
2uC (t) dt 2
RC
duC (t) dt
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整理得随动控制系统的微分方程为
Tf TaTm K
d 4
dt4
(T f
Ta )Tm K
d 3
dt3
Tf
Tm K
d 2
dt2
1 K
d
dt
其中
K kpkakgkt Rf kd
称为开环增益
一般情况下，描述线性控制系统输入输出关系的微分方程为：
dn
d n1
d
dt n c(t) a1 dtn1 c(t) L an1 dt c(t) anc(t)
M Cm ia Cmia
电路方程
动力学方程
ua
Ea
La
dia dt
Raia
M
ML
J
d
dt
电枢反电势
Ea Ce
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M
Cmia
电磁转矩
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(一)典型对象（环节）的微分方程 3、直流电动机
ua
Ea
La
dia dt
Raia
M
ML
J
d
dt
引入微分算子
p d , dt
p2
d2 dt2
EMa
自动控制原理
授课教师： 刘小河 2013年3月
第二章：控制系统的数学模型
本章主要内容及要求
1、控制系统的输入－输出描述 • 控制系统的微分方程（了解） • 非线性数学模型的线性化（了解） • 线性系统的传递函数（掌握） 2、典型环节的数学模型（掌握） 3、求复杂控制系统数学模型的工具和方法
1）结构图及化简方法（掌握） 2）信号流程图与梅逊公式应用（掌握）
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• 数学模型——描述系统变量之间物理、化 学、生理或其他本质关系的数学表达式
• 常根据具体对象称为：物理模型、电路模 型、化学模型等
• 数学模型的分类 时域模型 微分方程
频域（复频域）模型 传递函数
• 建立一个实际系统的数学模型并非易事。
• 学习重点：了解常见对象数学模型的形式， 对根据典型环节构成系统熟练求出系统传 递函数
得线性化微分方程
称为反馈线性化。
A d 2x B dx x 0 dt2 dt
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2.1 控制系统的输入——输出描述
三、线性系统的传递函数
1、Laplace变换
L[f(t)]—F(s) 从时域→复频域
定义：
F (s) f (t)estdt
0
举例：
1 t 0 f (t) 1(t) 0 t 0
火炮跟踪控制系统
雷达跟踪系统
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随动系统的框图
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1）电位器组
u p k p ( )
2）放大器-发电机励磁
Tf
dI f dt
If
ka Rf
up
3）发电机-电动机组
Ef kgI f
TaTm
d 2
dt2
Tm
d
dt
1 kd
Ef
4）传动机构
d
dt
kt
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KCL: iR iL iC i
KVL: uR uL uC ur
VCR：
uR
RiR , uL
L
diL dt
, iC
C
duC dt
Ri
L
di dt
uC
ur
i
C
duC dt
LC
d 2uC dt2
RC
duC dt
uC
ur
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(一)典型对象（环节）的微分方程 2、质量－弹簧－阻尼系统
Tm
d
dt
1 Ce
ua
(Tm J
ML
TaTm J
dML ) dt