§2．1等式性质与不等式性质
导学目标：
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
（预习教材P37~P42，回答下列问题）
情景1：右图是一大型超市的食品专柜，
假如你是顾客，需要购买一些食品：
请问你最关心所购食品的哪些方面？
你又如何作出选择呢？
情景2：右图是限速40km/h的路标，
指示司机在前方路段行驶时，
应使汽车的速度v不超过40km/h，
写成不等式是：_________．
的两边之和大于第三边，写成不等式是：_________．情景3：ABC
【知识点一】实数大小比较
1．文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．
2．符号表示
a－b>0⇔a>b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b<0⇔a<b．
自我检测1：设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是() A．M>N B．M＝N
C．M<N D．与x有关
【知识点二】不等式的性质
第一章集合与常用逻辑用语
-2-
C ．x <ax <0
D ．x >a >ax
题型一用不等式表示不等关系
【例1】某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 的两种规格．按照生产的要求，600mm 的钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
题型二比较大小
【例2-1】比较下列代数式的大小
（1）比较(x ＋2)(x ＋3)和(x ＋1)(x ＋4)的大小．（2）已知a >2，b >2，试比较a ＋b 与ab 的大小．【例2-2】已知,,a b m 都是正数，且a b <，求证：
a m a
b m b
+>+．
题型三不等式的性质
【例3-1】下面的推理过程
a>b⇒ac>
c>d⇒bc>ac>bd⇒a d>b c，其中错误之处的个数是()
A．0B．1C．2D．3
题型四利用不等式性质求范围
【例4-1】已知－2<a≤3,1≤b<2，试求下列代数式的取值范围：
(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b．
【例4-2】已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围为______．
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是() A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)>g(x)D．随x值变化而变化
2．已知a<b，那么下列式子中，错误的是()
A．4a<4b B．－4a<－4b
C．a＋4<b＋4D．a－4<b－4
第一章集合与常用逻辑用语
-4-
A ．b a >
b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋
1
b C ．a ＋1b >b ＋
1
a
D ．2a ＋b a ＋2b >
a
b
5．盐水溶液的浓度公式为()b p a b a =
>盐的量克
盐水的量克
，向盐水中再加入m 克盐，那么盐
水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（
）
A ． b b m a a m +<+
B ． b b m
a a m +>
+C ． b b m a
a
+<
D ． b b m a a
+>
情景1：生产日期、选择最新日期的购买．情景2：040v <≤．情景3：AB AC BC +>．【自我检测1】A
【自我检测2】（1）－1≤a －b ≤6（2）
B
【例1】【解析】题中三个不等关系，是“且”的关系，要同时满足的话，
可以用下面的不等式组来表示5006004000
300,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪≥⎪⎪
≥⎨⎪≥⎪∈⎪⎩．
【例2-1】比较下列代数式的大小
（1）【解析】因为(x ＋2)(x ＋3)－(x ＋1)(x ＋4)
＝(x 2＋5x ＋6)－(x 2＋5x ＋4)＝2>0，
所以(x ＋2)(x ＋3)>(x ＋1)(x ＋4)．（2）【解析】因为a b ab +-1122a ab b ab =-
+-111122a b b a ⎛⎫⎛⎫
=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
由2,2a b >>，可得111,122a b >>，可得1111022a b b a ⎛⎫⎛⎫
-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b ab +<．
【例2-2】【解析】利用()()
0b a m
a m a
b m b b b m -+-=>++即可．【例3-1】【解析】D
【例3-2】综合法或分析法
【例4-1】【解析】(1)|a |∈[0,3]；
(2)－1<a ＋b <5；
(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2；
(4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6①，由1≤b <2得－6<－3b ≤－3②，由①②得，－10<2a －3b ≤3.【例4-2】【解析】3238x y <-<．
第一章集合与常用逻辑用语
-6-
1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是()
A ．b a >
b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋
1
b C ．a ＋1b >b ＋
1
a D ．2a ＋
b a ＋2b >
a
b
【解析】C
5．盐水溶液的浓度公式为()b p a b a =
>盐的量克
盐水的量克
，向盐水中再加入m 克盐，那么盐
水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（
）
A ． b b m a a m +<+
B ． b b m
a a m +>
+C ． b b m a a
+<
D ． b b m a a
+>
【解析】A
6．对于实数a 、b 、c ，有下列说法：
①若a >b ，则ac <bc ；
②若ac 2>bc 2，则a >b ；。