不等式的基本性质知识点
1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b<O L> a<b。

①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。

它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。

如证明y=x3为单增函数，
3 3 2 2 2
设x1, X2《(-m,+ m), X<X2, f(x i)_f(X 2)=X1 _X2 =(X1_X2)(X1 +X1X2+X2 )=(X1_X2)[(X l+ -)
3
+ X22]
5 3
再由(X什- )2+ X22>0, X1-X2<0,可得 f(X l)<f(X2), ••• f(X)为单增。

2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：
(1)a>b三b<a (对称性)
(2)a>b, b>c 二a>c (传递性)
⑶ a>b = a+c>b+c (c € R)
(4) c>0 时，a>b A，ac>bc
c<0 时，a>b ac<bc。

运算性质有：
(1) a>b, c>d —a+c>b+d。

⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。

⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。

⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。

⑵利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。