等式性质与不等式性质【教材分析】本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修一第二章第一节的内容，主要讲解不等关系及不等式的性质及其运用；现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。

不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。

因此，不等式的性质是学习本章后续内容的重要保障；本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。

在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程等联系紧密，因此，不等式才成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点。

【教学目标】课程目标学科素养A．通过具体情景，让学生感受在现实世界和日常生活中存在的不等关系，理解和掌握列不等式的步骤；B．能灵活用作差法比较两个数与式的大小，提高数学运算能力；C．培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力；1．数学抽象：在实际问题中发现不等关系，并表示出不等关系；2．逻辑推理：作差法的原理；3．数学运算：用作差法比较大小；4．直观想象：在几何图形中发现不等式；5．数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题；【教学重难点】1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；【教学准备】多媒体【教学过程】第一课时教学设计一、情景引入，温故知新（一）情境导学1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m （含1.1 m ）而不超过1.5m 的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5 m 时应买全价票。

每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。

从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2．展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。

师：明天白天广州的温度t ℃满足怎样的不等关系？生：t 大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（≥），小于或等于（≤），不等于（≠）。

老师总结板书：不等式的定义：用不等号（<，>，≥，≤，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

1．师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2．师：两个指示标志分别表示什么意思？通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；生：速度大于或等于80，高度小于或等于4．53．师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。

师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？生：师：不等关系用什么表示？生：不等式（二）探索新知探究一 用不等式表示不等关系例1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍。

试写出满足上述所有不等关系的不等式。

教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4000mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负。

于是可列不等式组表示上述不等关系。

[解析]设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：，{500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0)即。

{5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0)归纳总结；用不等式（组）表示实际问题中不等关系的步骤：由典型问题的分析解决，体会建立不等式（组）的一般方法和难点所在；培养和提升学生运用数学眼光分析表达问题的能力，发展数学抽象和数学建模的核心素养用数学语言表示不等关系。

通过练习巩固分析表达不等关系，教会学生解决和研究问题，提升数学抽象能力。

①审题。

通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量。

找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等。

②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示。

跟踪训练：1．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？2．某工厂在招标会上，购得甲材料x t ，乙材料y t ，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120 t ，则x 、y 应满足的不等关系是（）A ．x ＋y >120B ．x ＋y <120C ．x ＋y ≥120D ．x ＋y ≤120[解析] 提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为（8－×0.2）x 万元，那么不等关系“销售的收入不低x －2.50.1于20万元”用不等式可以表示为：（8－×0.2）x ≥20.x －2.50.1[解析]由题意可得x ＋y ≥120，故选C ．探究二 比较数或式子的大小我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实：（1）数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______。

根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步学生回答：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<。

复习作差比较法，代数式大小的方法，理解作差法的原理，通过练习达到灵活运用；生：作差比较法生：作差，变形，判号，定论。

指出：作差比较法是证明不等式的重要方法，它将比较实数的大小转化为判断差的符号例2．已知x ＜y ＜0，比较（x 2＋y 2）（x －y ）与（x 2－y 2）（x ＋y ）的大小。

[解析]∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴（x 2＋y 2）（x －y ）－（x 2－y 2）（x ＋y ）＝－2xy （x －y ）＞0，∴（x 2＋y 2）（x －y ）＞（x 2－y 2）（x ＋y ）。

师生共同归纳总结：比较两个实数（或代数式）大小的步骤（1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差；（2）变形：对差进行变形（因式分解、通分、配方等）；（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；（4）作出结论。

这种比较大小的方法通常称为作差比较法。

其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提。

跟踪训练1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关[解析]M －N ＝x 2＋x ＋1＝（x ＋）2＋>0，∴M >N ，故1234选A ．2．比较x 2＋y 2＋1与2（x ＋y －1）的大小；3．设a ∈R 且a ≠0，比较a 与的大小。

1a[解析]2．x 2＋y 2＋1－2（x ＋y －1）＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝（x －1）2＋（y －1）2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2（x通过练习巩固作差法，发展学生数学运算素养，提供运算的准确性、灵活性和速度。

物，并使混合食物内至少含有56 000单位的维生素A 和63 000 单位的维生素B ．试用不等式组表示x ，y 所满足的不等关系。

【解析】由题意知xkg 的甲种食物中含有维生素A600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 的乙种食物中含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 的甲种食物与y kg 的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A （600x+700y ）单位，含有维生素B （800x+400y ）单位，则有 {600x +700y ≥56000，800x +400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即{6x +7y ≥560，4x +2y ≥315，x ≥0，y ≥0.4．将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示x 应满足的不等关系。

【解析】各边都缩短x 后，长度仍然为正数，只要最短边大于零即可，因此5-x>0.而要构成三角形，还要满足（5-x ）+（12-x ）>13-x 。

当三角形是钝角三角形时，应使最大角是钝角，此时只需最长边所对的角是钝角即可，因此（5-x ）2+（12-x ）2<（13-x ）2，故x 应满足的不等关系为{5-x >0，（5-x ）+（12-x ）>13-x ，（5-x ）2+（12-x ）2<（13-x ）2。

5．比较下列各组中的两个实数或代数式的大小：（1）2x 2+3与x+2，x ∈R ；（2）a+2与，a ∈R ，且a ≠1．31-a 【解析】（1）因为（2x 2+3）-（x+2）=2x 2-x+1=2>0，所以2x 2+3>x+2．(x ‒14)2+78≥78（2）（a+2）-31-a=（a +2）（1-a ）-31-a=-a 2-a -11-a=。

a 2+a +1a -1由于a 2+a+1=>0，所以当a>1时，(a +12)2+34≥34 >0，即a+2> ；a 2+a +1a -131-a 当a<1时， <0，即a+2<。

a 2+a +1a -131-a 故当a>1时，a+2> ； 当a<1时，a+2< 。

31-a 31-a 四、小结1．不等式与不等关系（1）不等式的定义所含的两个要点。

①不等符号>，<，≥，≤或≠。

②所表示的关系是不等关系。

（2）不等式中的文字语言与符号语言之间的转换。

2．比较两个实数A 、B 大小的依据文字语言符号表示如果a >b ，那么a －b 是；如果a <b ，那么a －b 是；如果a ＝b ，那么a －b，反之亦然a >b ⇔________a <b ⇔________a ＝b ⇔_________五、作业1．习题2.12．预习下节课内容生学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。

注意总结自己在学习中的易错点；巩固今天所学内容题培养学生的自学能力，也为下一节学习不等式性质做准备第二课时教学设计（一）温故知新你能回忆起等式的基本性质吗？性质1 若a=b ，则b=a ；性质2 若a=b ，b=c ，则a=c ；性质3 若a=b ， 则a±c=b±c ；性质4 若a=b ， 则ac=bc ；性质5 若a=b ， 0c ≠ ，则a b c c=；类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质，并加以证明吗？（二）探索新知不等式的性质（1）对称性文字语言不等式两边互换后，再将不等号改变方向，所得不等式与原不等式等价符号语言a>b ⇔b<a作用写出与原不等式等价且异向的不等式证明：∵a>b ，∴a-b>0.由正数的相反数是负数，得-（a-b ）<0.即b-a<0，∴b<a ．同理可证，如果b<a ，那么a>b ．跟踪训练。