（2.14）
可确定待定系数:
(2.15)
至此，定解问题（2.1）-(2.3)的解已经求出
注意：
分离变量法是有条件的，会受到一定的限制
(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离
(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式
2.2. 解的物理意义
分析的方法是：先固定时间t，看看在任一指定时刻波 是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。 特解 (2.12) 改写为
否则得零解，对于齐次微分方程是无意义． 我们所谓的求解是指的求出非零解
故得
（2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（2.７）这样简单的结论， 而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程
（2.5） （2.7）
定义：
本征值
不 能任意取，只能根据边界条件（2.7）取某些
cos
l
0
由于B≠0，故cosβl＝0，即
(2n1)(n0,1,2,3, )
2l
从而求得了一系列特征值与特征函数。
n
(2n1)22
4l2
(2 n 1 )
X n(x ) B nsin 2 l x (n 0 ,1 ,2 ,3 , )
中最小的一个
称为基频，
相应的
称为基波．
相应的
称为谐频， 称为谐波．
基波的作用往往最显著．
例 1 设有一根长为 10 个单位的弦，两端固定，初速度为零，初始 位移为(x) x(10 x) ，求弦作微小横向振动时的位移。
1000
解: 设位移函数为u(x,t)，它是定解问题
u2txu20a02,ux2u2x,1000x,t100,t 0
t0
0, 0 x l
解 这里所考虑的方程仍是（2.1），所不同的只是在 x＝l 这一端的边
界条件不是第一类齐次边界条件 u xl 0 ，而是第二类齐次边界条
u
件 x
xl
0 。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程（2.4）与
（2.5） T (t) a2T (t) 0 ， X (x) X (x) 0 ，但条件（2.6）应
特定值。 本征函数
不同 （ 2.5）所对应的解
本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函 数问题。
求解（2.5），将 三种可能逐一加以分析
（１）
（2.5）的解为
和
由（2.７）确定，即有
由此解出
（２）、
被排除 方程（2.5）的解是
和
由（2.7）确定，即
解出
也被排除．
（３）
（2.5）的解
代之以
X(0)X(l)0 （2.6）′
相应特征值问题为求
的非零解。
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
（2.5）
重复前面的讨论可知，只有当 λ＝β2>0 时，上述特征值问题才
有非零解，此时（2.5）的通解仍为
X (x ) A c o sx B s inx
代入条件（2.6）′得t0
x(10 x) , u 1000 t
t0
0,0 x 10
的解。这时 l＝10，并给定 a2 10000 （这个数字与
弦的材料，张力有关）。
直接应用已经得到的结果公式：
得到 B n 0
0 ,n 为 偶 数
A n 5 0 1 0 00 1 0 x ( 1 0 x )s in n 1 0 x d x 5 n 2 33( 1 c o sn) 5 n 4 33 ， 当 n 为 奇 数
第三步：先求特解，再叠加求出通解
对于每一个本征值 ，由方程（2.4）求出相应的
方程的解：
A 其中 和 B是待定常数．
（2.10） （2.11）
（2.9）和（2.11）代入到解
得到变量分离形式的特解
（2.12）
线性叠加后的解
这就是满足(2.1)和条件（2.2）的通解
（2.13）
第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(2.3)确定叠加系数
二阶常系数微分方程：y'' py' qy0
特征方程：r2 prq0
根的三种情况：
r1
r1
r2 r2
r
r i
得常系数微 分方程的通 解：
y y
C1er1x C1erx
C2er2x C2xerx
y ex(C1cosxC2 sinx)
直角坐标系中的分离变量法
2.1 分离变量法介绍
例1：具体考虑长为l两端固定的均匀弦的自由振动
因此，所求的解为
u (x ,t) 5 4 3n 0 (2 n 1 1 )3 s in (2 n 1 0 1 )x c o s 1 0 (2 n 1 )t
例2 解定解问题
2u
t
2
a2
2u x2
,0
x
l,t
0
u
x0
0, u x
xl
0,t 0
u
t0
x2 2lx, u t
(2.16)
驻波叠 加
振幅:
Nn
sin
nπx l
频率: n
初位相: n
波节:
波腹:
点数为2，3，4的驻波形状
图2.1
于是我们也可以说解
是由一系列频率不同
（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的．
所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相
的差异，由初始条件决定，而圆频率
与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．
第二章 分离变量法
本章重点：
（1）用分离变量法又称特征函数展开法，是求解偏 微分方程最常用的重要方法；
（2）用分离变量法求解各种有界问题； （3）用分离变量法求解各种有界问题的思路、步骤 及其核心问题—特征值（本征值或固有值）问题； （4）理解叠加原理的应用 （5）分析解的物理意义；
其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程， 其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题．
泛定方程
（2.１）
边界条件
（2.２）
初始条件
（2.３）
定解问题的泛定方程变为
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t,
也不依赖于x的常数，不妨设常数为 偏微分方程分离成两个常微分方程:
(2.4) (2.5)
由齐次边界条件有
X (0)T (t) 0
X
(l )T
(t
)
0
(2.6)
T (t) 0
和
由（2.7）确定，即
如
，则仍然解出
只剩下一种可能性：
C10,sinl0
l nπ
n
n2π2 l2
(n1,2,3, ) （2.8）
与 n 对应的函数为
Xn(x)
C2
sinnπx l
（2.9）
（2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．
常数 的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作 本征函数．方程（2.5）和条件（2.7）则构成 本征值问题或固有值问题．