第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法

在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程

22dxyd＋p(x) dxdy＋q(x)y＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y１，作变量替换，令 y＝uy1 (9.2) 其中u＝u(x)为未知函数，求导数有

dxdy＝y1dxdu＋udxdy1

求二阶导数有22dxyd＝y122dxud＋2dxdudxdy1＋u212dxyd 代入(9.1)式得 y122dxud＋（2dxdy1＋p(x)y1）dxdu＋(212dxyd＋p(x) dx

dy1

＋q(x)y1)u＝0 (9.3) 这是一个关于u的二阶线性齐次方程，各项系数是x的已知函数，因为y1是(9.1)的解，所以其中

212dxyd＋p(x) dxdy1＋q(x)y1≡0 故(9.3)式化为 y122dxud＋(2dxdy1＋p(x)y1) dxdu＝0 再作变量替换，令dxdy＝z得 y1dxdz＋(2dxdy1＋p(x)y1)z＝0 分离变量 z1dz＝－[1y2＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z＝212yCe－∫p(x)dx 其中C2为任意常数

积分得u＝C2∫21y1e－∫p(x)dxdx＋C1代回原变量得(9.1)的通解 y＝y1［C１＋C2∫21y1e－∫p(x)dxdx］ 此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville)公式。 综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换y＝y1∫zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。 对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。

例1. 已知y１＝xxsin是方程22dxyd＋x2dxdy＋y＝0的一个解，试求方程的通解 解 作变换 y＝y1∫zdx

则有 dxdy＝y1z＋dxdy1∫zdx

22dxyd＝y1dxdz＋2dxdy1z＋212dxyd

∫zdx

代入原方程，并注意到y1是原方程的解，有 y1dxdz＋(2dxdy1＋dxdy1)z＝0

即 dxdz＝－２ctanx·z 积分得 z＝xsinC21 于是 y ＝y1∫zdx＝xxsin［∫xsinC21dx＋C2］ ＝xxsin (－C1ctanx＋C2) ＝x1 (C2sinx－C1cosx) 这就是原方程的通解。 §9.2 常数变易法

在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。对于二阶线性非齐次方程

22dxyd＋p(x) dxdy＋p(x)y＝f(x) (9.4) 其中p(x),q(x)，f(x)在某区间上连续，如果其对应的齐次方程

22dxyd＋p(x) dxdy＋q(x)y＝0 的通解 y＝C1y１＋C２y2已经求得。 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。 设非齐次方程(9.4)具有形式

~y＝u1y1＋u２y2 (9.5) 的特解，其中u1＝u1(x)，u2＝u(x)是两个待定函数，对~y求导数得 ~'y＝u1y′1＋u2y′2＋y1u′１＋y2u′2 由于用(9.5)代入(9.4)，可确定u1，u2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：y１u′１＋y2u′2＝0

这样 ~'y＝u1y′1＋u2y′2 "y~＝u′1y″1＋u′2y″2＋u1y′1＋u2y′2

代入方程(9.3)，并注意到y1，y2是齐次方程的解，整理得 u′１y′1＋u′２y′２＝f(x)

与补充条件联列得方程组)x(f'u'y'y'u'y0'uy'uy222112211 因为y1，y2线性无关，即

12yy≠常数，所以(12y

y)′＝211221y'yy'yy≠0

设w(x)＝y1y′2－y2y′1，则有w(x)≠0所以上述方程组有唯一解。 解得

)x(w)x(fy'yy'yy)x(fy'u)x(w)x(fy'yy'yy)x(fy'u11221122122121 积分并取其一个原函数得 u1＝－∫)x(w)x(fy2dx

u２＝∫)x(w)x(fy1dx 则所求特解为 ~y＝y1∫)x(w)x(fy2dx＋y2∫

)x(w)x(fy1dx

所求方程的通解 y＝Y＋~y＝C1y1＋C2y2＋y1∫)x(w)x(fy2dx＋y2∫)x(w)x(fy1dx

上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。

例1. 求方程22dxyd－x1dxdy＝x的通解 解 先求对应的齐次方程 22dxyd－x1dxdy＝0

的通解，由 22dxyd＝x1dxdy dxdy1·d(dxdy)＝x1dx 得 ln｜dxdy｜＝ln｜x｜＋ln｜C｜ 即 dxdy＝Cx得通解y＝C1x2＋C2 所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1。

为求非齐次方程的一个解~y将C1，C2换成待定函数u1，u2，且u1，u2满足下列方程

x'u0'xu20'u1'ux21212

解上述方程得 u′1＝21 u′2＝－21x2 积分并取其一原函数得 u1＝21x，u2＝－6x3 于是原方程的一个特解为 ~y＝u1·x2＋u2·1＝2x3－6x3＝3x3 从而原方程的通解为 y＝C1x2＋C2＋3x3 第十节 数学建模(二)——微分方程在几何、物理中的应用举例 一、镭的衰变 例1. 镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量。 解 用x表示该放射性物质在时刻t的现存物质，

则dtdx表示x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表示为

dtdx＝－kx

这是一个以x为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。其中k＞0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。方程右端的负号表示

当时间t增加时，质量x减少，即t＞0时，dtdx＜0。

解这个方程得通解 x＝Ce－kt 若已知当t＝t0时，x＝x0，即x｜0tt＝x0 代入方程可得 C＝x0e0kt 得特解 x＝x0e)tt(k0 它反映了某种放射性元素衰变的规律。 二、正交轨线 已知曲线族方程F(x,y,C)＝０，其中包含了一个参数C，当C固定时就得到一条曲线，当C改变就得整族曲线，称为单参数曲线族。例如y＝Cx2为一抛物线族。

图6-3 如果存在另一族曲线G(x,y,C)＝0，其每一条曲线都与曲线族F(x,y,C)＝0的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称G(x,y,C)＝0为F(x,y，C)＝0的正交轨线。 将曲线族方程F(x,y,C)＝0对x求导与F(x,y,C)＝0联列并消去常数C，得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率y′所满足的微分方程 f(x,y,y′)＝0 这就是曲线族F(x,y,C)＝0所满足的微分方程。 因为正交轨线过点(x,y)，且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正交轨线在点(x,y)处的斜率 k＝－'y1 于是可知曲线族F(x,y,C)＝0的正交轨线满足方程

f(x,y,－'y1)＝0 这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族(通解)，就是所要求的正交轨线。 例2 求抛物线族y＝Cx2的正交轨线。 解 对y＝Cx2关于x求导，得y′＝2Cx与原方程联列

Cx2'yCxy

2

消去C

图6-4 得微分方程 y′＝xy2

将－'y1代入y′得所求抛物线的正交轨线微分方程

－'y1＝xy2 即 ydy＝－2xdx 积分得 4x2＋2y2＝C2 即抛物线族 y＝Cx2的正交轨线是一个椭圆族，如图6-4。 三、追迹问题 例3. 开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正比行走；甲从乙的左侧O点出发，始终对准乙以nv0(n＞1)的速度追赶，求追迹曲线方程，并问乙行多远时，被甲追到。 图6-5 解 如图6-5建立坐标系，设所求追迹曲线方程为

y＝y(x) 经过时刻t，甲在追迹曲线上的点为p(x,y)，乙在点B(1,v0t)。于是有

tanθ＝y′＝x1ytv0 (10.1) 由题设，曲线的弧长OP为 ∫x02'y1dx＝nv0t 解出v0t代入(10.1)得